اگر تابع اولیه را برابر $f$ بگیریم باید $S$ را چنان بیابیم که در شرایط زیر صدق کند:
1) $ S( x_{i} )=f( x_{i} ) \ \ \ \ \ $
2) $ S_{i+1}( x_{i+1} )=S_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $
3)$ S^{'} _{i+1}( x_{i+1} )=S^{'}_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $
4)$ S^{''} _{i+1}( x_{i+1} )=S^{''}_{i}( x_{i+1} ) \ \ \ \ \ $
اگردرونیاب را با $ S $ نمایش دهیم در هر زیر بازه ی $ [ x_{i} , x_{i+1} ] $ درونیاب برابر است با
$ S_{i}( x)= a_{i} + b_{i} (x- x_{i} ) + c_{i} (x- x_{i} ) ^{2} +d_{i} (x- x_{i} ) ^{3} $ اولا یک چند جمله ای است و چون طبق فرض برای بازه های $ [ x_{0} , x_{1} ] $و$ [ x_{2} , x_{3} ] $ متحد با صفر است لذا باید ضرایب صفر باشند لذا داریم:
$$a_{0}=b_{0} =c_{0} =d_{0}=0 \tag{*}\label{*} $$
$$a_{2}=b_{2} =c_{2} =d_{2}=0 \tag{**}\label{**}$$
حال نشان میدهیم که
$$a_{1}=b_{1} =c_{1} =d_{1}=0 $$
اولا با جایگزاری داریم:
$ S_{i}( x_{i} )= a_{i} $ و چون ضرایب صفر هستند لذا $ S_{0}( x_{1} )=0$ وطبق رابطه ی $ (2) $ داریم که $a_{1}= S_{1}( x_{1} )=S_{0}( x_{1} )=0 $ .
به کمک مشتق گیری داریم که
$ = b_{i}+2c_{i}(x-x_{i})+3d_{i}(x-x_{i})^{2} $
$S^{'} _{i} (x) $
که با جایگذاری $ x_{i} $ داریم که $ = b_{i}$ $ S^{'} _{i} (x) $
حال با استفاده از رابطه ی $ (3) $ بدست می آید که
$ b_{i+1}= b_{i} +2c_{i}(x_{i+1}-x_{i})+3d_{i}(x_{i+1}-x_{i})^{2}$ لذا با جایگذاری $i=0 $ و توجه به رابطه ی$ \eqref{*}$ بدست می آید که $b_{1} =0 $
با اجرای روند بالا و دو بار مشتق گیری برای $ c_{i} $ ها رابطه ی
$ c_{i+1}= c_{i} +3 d_{i}(x_{i+1}-x_{i})$ که توجه به رابطه ی$\eqref{*} $ بدست می آید که $c_{1} =0 $
و رابطه ی زیر همواره برای $ d_{i} $ ها برقرار است که به کمک آن حکم آخر هم ثابت می شود.
$$d_{i}= \frac{c_{i+1}- c_{i}}{3 (x_{i+1}-x_{i})} $$
