اثبات اینکه هر عدد مربع کامل به صورت ۴n یا ۴n+1 است.

Question

اثبات کنید که هر عدد مربع کامل میتواند به صورت ۴n یا ۴n+1 نوشته شود.

Comments

در اینجا $n$ چی هست؟

---

هر عدد صحیح دلخواه. در واقع اثبات اینکه هر عدد مربع کامل یا مضربی از چهار است و یا در تقسیم بر چهار باقی مانده یک دارد.

---

در واقع باید سوالتون اینطور می بود که ثابت کنید مربع هر عدد طبیعی در تقسیم بر $4$ دارای باقیمانده $0$ یا $1$ است.
چون مثلا $1$ مربع کامل است و شما نمی توانید آن را به صورت $4n+1$ یا $4n$ بنویسید  اگر قرار باشه $n$ طبیعی باشد.
برای اثبات مطلب کافی است دو حالت در نظر بگیرید یا عدد مورد نظر زوج است $2k$ یا فرد $2k+1$ و مربع اینها را بیابید.

---

بله درست میگویید.با تشکر

Answer 1

هر عدد مربع کامل به صورت $n^{2}$ است. هر عدد یا زوج است یا فرد

اگر $n=2k$ آنگاه $n^{2} =4k^2=4k^{'}$

اگر $n=2k+1$ آنگاه $n^{2} =4k^2+4k+1=4k^{'}+1$

Answer 2

میتوان گفت : هر عددی باقی مانده اش به 4 ، 0 یا 1 یا 2 یا 3 است و توان دو این ها میشود یا 0 یا 1 یا 4 یا 9 بعد باقی مانده این ها به 4 یا 0 است یا 1 . از این رو یا هر عدد به توان 2 را میتوان گفت میتوان به صورت 4k یا 4k+1 نوشت. ^____^