اثبات قضیه منتسب به گاوس (Gauss) مبنی بر اینکه اگر $n$ مجموع سه عدد مثلثی باشد، آنگاه $8n+3$ مجموع سه مربع است.

Question

اگر $n$ مجموع سه عدد مثلثی باشد، آنگاه $8n+3$ مجموع سه مربع است.

در کتاب‌های مرجعی که سراغ دارم، اشارهٔ مستقیم به این مورد نشده. در مجموع مربعات هم اثری از این قضیه دیده نمی‌شه.

Comments

اشاره غیرمستقیم هم نشده؟ کتابای مرجعت چیه؟

---

@mdgi

توجه شما باعث شد تا بدنبال مطالب پیشرفته تر برم. توسط لژاندر ثابت شده هر عددی که بشکل $ 4^{h}(8k+7) $ نباشه، قابل نمایش بصورت مجموع سه مربع است. این مطلب در کتاب نشر دانشگاهی نظریه اعداد ترنس هیو جکسون ترجمه اکبر حسنی صفحه ۸۳ اومده که جواب سؤال من هم هست. با اومدن این قضیه تو کتابها قضیه گائوس به قضیه ای فرعی تبدیل شده و احتمالاً حذف شده یا بصورت تمرین ارائه میشه. به هرحال توجه تون باعث خیر شد. از حسن توجهتون سپاسگزارم.

---

@mdgi البته اثبات این قضیه تو کتاب نشر دانشگاهی نیومده.برای دوستانی که علاقمند به اثبات این قضیه هستند. در کتاب (metods of solving number theory problems (2010 نوشته Ellina Grigorieva نشر birkhauser صفحه ۲۷۹ اومده.
اگر $N$ مجموع سه عدد مثلثی باشد، آنگاه $8N+3$ مجموع سه مربع است. ولی در نکته همان صغحه تصریح کرده که قضیه معکوس هم درسته. یعنی
اگر مجموع سه مربع بشکل $8N+3$ باشد، آنگاه $N$ مجموع سه عدد مثلثی است.
قضیه سه مربع لژاندر هم در صفحه ۲۷۷ همین کتاب با اثباتش اومده.