فضای دوگان

Question

با سلام میشه راجع به چگونگی حل این مسئله بنده را راهنمایی بفرمائید.

$X^{ \ast }$ را فضای دوگان $X$ می نامیم .

دوگان $(R^{n})^{ \ast }$ را پیدا کنید.

برای حل این مسئله با توجه به آنچه در کارشناسی خوندیم باید جواب برابر با : $(R^{n})^{ *} = R^{n}$ باشه

حال چگونه ثابت کنیم $(R^{n})^{ *} = R^{n}$ است . ؟

تلاش خودم برای حل اینه که و برای حل آن اول باید نشان دهیم $R ^ { \ast }=R$

Answer 1

کافیست تابعی دوسویی بین این دو فضا تعریف کنیم. ابتدا توجه میکنیم که هر عضو از $R^{n}$ بصورت $( x_{1} , x_{2} ,..., x_{n} ) = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} +...+ x_{n} e_{n}$ است. لذا برای هر عضو از $(R^{n})^{ *}$ داریم

$$f(( x_{1} , x_{2} ,..., x_{n} )) =f( x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} +...+ x_{n} e_{n})= x_{1} f( e_{1} )+ x_{2} f(e_{2} )+...+ x_{n} f(e_{n} )$$ و این یعنی این عضو با معلوم بودن $f(e_{i} )$ ها معلوم می شود و لذا هر عضو مانند $f$ متناظر با $( a_{1} , a_{2} ,..., a_{n} )$ است که در آن داریم $a_{i}=f(e_{i} )$

تعریف میکنیم $\varphi : (R^{n})^{ *} \rightarrow R^{n}$ که $f \mapsto ( a_{1} , a_{2} ,..., a_{n} )$ که در آن داریم $a_{i}=f(e_{i} )$ آنگاه به راحتی ثابت می شود که یک تابع دوسویی داریم.