کافیست تابعی دوسویی بین این دو فضا تعریف کنیم.
ابتدا توجه میکنیم که هر عضو از $ R^{n} $ بصورت $( x_{1} , x_{2} ,..., x_{n} ) = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} +...+ x_{n} e_{n} $ است. لذا برای هر عضو از $(R^{n})^{ *} $ داریم
$$f(( x_{1} , x_{2} ,..., x_{n} )) =f( x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} +...+ x_{n} e_{n})= x_{1} f( e_{1} )+ x_{2} f(e_{2} )+...+ x_{n} f(e_{n} ) $$
و این یعنی این عضو با معلوم بودن $ f(e_{i} )$ ها معلوم می شود و لذا هر عضو مانند $f $ متناظر با $( a_{1} , a_{2} ,..., a_{n} ) $ است که در آن داریم $ a_{i}=f(e_{i} ) $
تعریف میکنیم $ \varphi : (R^{n})^{ *} \rightarrow R^{n} $ که $f \mapsto ( a_{1} , a_{2} ,..., a_{n} ) $ که در آن داریم $ a_{i}=f(e_{i} ) $ آنگاه به راحتی ثابت می شود که یک تابع دوسویی داریم.
