توان های گویا در حالات خاص

Question

سلام مقدار عدد عبارات زیر رو چطوری بدست بیاوریم . تعریف دقیق میگه : اگر a بزرگتر از صفر و m وn دو عدد طبیعی با شند که $\frac{n}{m}$ کسر ناصحیح باشند ما اجازه داریم $\sqrt[m]{ a^{n} }$ بنویسیم . یعنی اگر صحیح شود حق نوشتن نداریم و اگر پایه هم منفی باشد حق نوشتن ندارم . حال چگونه مقدار $x^{ \frac{2}{2} }$ یا مقدار $( -1)^{ \frac{12}{4} }$ رو بدست بیاوریم . دو حالت به وجود می آید یا باید ساده کنیم یا باید بازش کنیم . کدوم رو انتخاب کنیم .؟؟؟؟ (سوال برای دوره دبیرستان است و هنوز با توابع مختلط آشنا نیستند)

Comments

اگر می‌شود منبعِ «تعریف دقیق»-ِ یادشده در متن پرسش را اشاره کنید. برای من به این شکل عجیب است، آیا فرضی مانندِ تابع شدن در حالت تحدید به اعداد حقیقی و مثبت برداشتن ریشهٔ فرجهٔ زوج و ... و یا چیز دیگری از قلم نیافتاده‌است؟

---

حقیقتا برای خود منم خیلی جای سوال هست که چرا چنین تعریفاتی رو برای سال دهم   آوردن .  ... منبعش کتاب سال دوم دبیرستان یا همون دهم  ریاضی . قسمت توان های گویا  به صورت نکته درون مستطیل قرار داده . نه من فرضی اونجا ندیدم  اگر دیده بودم مطمئنا انقدر سوال برام پیش نمیومد .

---

@Mohsenn کتاب را نگاه خواهم انداخت و با دوستان دبیرم در ایران صحبت خواهم‌کرد. نتیجه را اطلاع خواهم‌داد. آقای @erfanm نیز شاید در جریان موضوع باشند می‌توانید با ایشان صحبت کنید.

---

@Mohsenn آیا توجه کرده‌اید که کجا و به چه دلیل آقای @erfanm این جمله را گفته‌اند؟ احتمالا مکانی که «آیا $|x|$ یک چندجمله‌ای است؟» در کتابی از مقاطع مدرسه پرسیده شده‌است، منظور تابع چندجمله‌ای بوده‌است.

---

نه  به نظر منظور تابع چند جمله ای نبوده چون هنوز بچه ها با مفهوم تابع آشنا نیستند و  ور در تقسیم چند جمله ای ها دامنه ای برای مقسوم علیه پیدا نمیکنند.(الته آقای عرفان خودشان یه معلم فوق العاده باهوش هستند و مطمئنا دلیلی داشتن )
این کار درستی نیست که بعضی جاها چند جمله ای رو تابع چند جمله ای در نظر بگیری ، و اگر هم قصد چنین کاری رو دارید باید حتما لفظ تابع چند جمله ای ذکر بشه تا اشتباه رخ نده.

Answer 1

به صورت طبیعی توان صحیح برای اعداد تعریف شده و وقتی بخواهیم توان کسری را تعریف کنیم باید طوری تعریف بشه که با حالت صحیح همخوانی داشته باشه

توانها ی کسری را به کمک ریشه n ام تعریف کرده اند و منظور از$a^{ \frac{m}{n} }$ ریشه ی n ام عدد$a^{m}$ است.

با توجه به اینکه در حالت کلی یعنی اعداد مختلط n تا ریشه n ام داریم و برای همخوانی با توانها ی صحیح اعداد حقیقی که پایه تعریف توان بود ( منظور حالت‌هایی مثل $۲= \frac{۶}{۳} =...$ است.) برای اعداد مثبت جواب اصلی را جواب حقیقی مثبت در نظر میگیریم. بعنوان مثال

$$a^3 = a^{ \frac{3}{1} } = a^{ \frac{6}{2} } =....= \sqrt[k]{a^{3k}}$$

اما برای اعداد منفی(پایه منفی) مشکلات زیادی وجود دارد. اگر تعریف به کمک ریشه n ام را در حالت عادی برای اعداد حقیقی در نظر بگیریم عباراتی که صورت کسر عددی زوج باشد جواب حقیقی دارند اما جوابهایی که صورت فرد باشد و مخرج زوج باشد جواب حقیقی ندارد بطور مثال $-۲^{ \frac{۱}{۲} }$ ریشه حقیقی ندارد اما اگر به جای $\frac{۱}{۲}$ مقدار برابر آن یعنی $\frac{۲}{۴}$ را قرار دهیم جواب حقیقی خواهیم داشت.

پس برای همخوانی با حالت توان صحیح ، در بحث اعداد حقیقی ابتدا توانهای کسری را ساده می کنیم و اگر صحیح باشند آنها را بدست می آوریم وگرنه آن را تعریف نشده میگیریم.

اما در حالت کلی وقتی دامنه بحث اعداد مختلط است برای هر عبارت تعریف داریم ولی دیگر $a^{ \frac{m}{n} }$ با $a^{ \frac{km}{kn} }$ برابر نیست.

چون اولی ریشه n ام $a^m$ و دومی ریشه kn ام $a^{km}$ است.

Comments

@Mohsenn $\sqrt{2}$ در $x^4-(-2)^2=0$ صدق نمی‌کند؟ این جملهٔ آقای @erfanm دنبالهٔ پاراگرافی است که از «اما برای اعداد منفی ...» شروع می‌شود. نوشته‌اند «اگر تعریف به کمک ریشهٔ $n$اُم ...» آنگاه «...».

---

هدف تبادل اطلاعات و یاد گرفتن چیزهای جدیده .  سوالات دیگه ای هم خواهم پرسید که در مورد مباحثه انالیزه. و اما معادله ای که شما نوشتید برای رادیکال دو صدق میکنه و در این شکی هم نیست و هگمی قبول داریم . اما یه نکته هست  که مثل اینکه شما هم توجه نکردید و اون اینه که ما طبق قوانین توان که آقای سادری هم تاکید دارن اجازه چنین کاری رو نداریم :
<math>$(-2^{2} )^{ \frac{1}{4} }$</math>        
و شما معادله رو برای این حالت نوشتی . (هدف پیدا کردن همین ایرادات ریزه )
و  این دقیقا روش اثبات اشتباهی هست که در توابع نمایی در مورد اینکه چرا پایه های منفی رو در نظر نمیگیرن به کار میره ، که این رو هم آقای سادری  راه درستش رو کاملا جواب داده. http://math.irancircle.com/blog/130   و این هم لینکش.
و اما اینکه من قسمت آخر دیدگاه شما درباره فریدنیا متوجه نشدم . اگر منظور شما دامنه ایکس به توان دو دوم هست که من بازهم میگم دامنش تمام اعداد حقیقیه .

---

@Mohsen منظورم در آخر دیدگاه پیشینم این بود که در «اگر ... آنگاه ...»، درستی گزاره در صورت قبول نکردن فرضِ گزارهٔ شرطی رد نمی‌شود.
به نظرم باید موقعیت را تفکیک کرد. برای نمونه زمانی‌که از یک دانش‌آموز ابتدایی می‌پرسیم آیا ۲ جذر دارد؟ پاسخ خیر است و هیچ تناقضی با زمانی که از یک دانش‌آموز راهنمایی می‌پرسیم آیا ۲ جذر دارد و می‌گوید بلی، ایجاد نمی‌کند. در موقعیت نخست منظور از جذر، جذر صحیح است (و نیاز به تأکید در جملهٔ پرسش برای دادن این فرض نیست چون به صورت پیش‌فرض در ریاضی ابتدایی دامنهٔ صحبت اعداد طبیعی یا صحیح هستند). در موقعیت دوم، منظور جذر حقیقی است. در این مقطع، مفهوم‌ها بیشتر شده‌اند، و دامنهٔ صحبت به صورت پیش‌فرض اعداد اعشاری را نیز دارد. در اینجا برای اشاره به پرسشی که در موقعیت نخست بود به جای گفتن ۲ جذر دارد می‌گوئیم آیا ۲ مربع کامل است.

---

بله درست میگید من به ابتدای متن توجه نکردم." تعریف به کمک ریشه..."
من پست اقای فریدنا رو خوندم متوجه منظور شما نشدم.