به صورت طبیعی توان صحیح برای اعداد تعریف شده و وقتی بخواهیم توان کسری را تعریف کنیم باید طوری تعریف بشه که با حالت صحیح همخوانی داشته باشه
توانها ی کسری را به کمک ریشه n ام تعریف کرده اند و منظور از$ a^{ \frac{m}{n} } $ ریشه ی n ام عدد$ a^{m} $ است.
با توجه به اینکه در حالت کلی یعنی اعداد مختلط n تا ریشه n ام داریم و برای همخوانی با توانها ی صحیح اعداد حقیقی که پایه تعریف توان بود
( منظور حالتهایی مثل $ ۲= \frac{۶}{۳} =... $ است.) برای اعداد مثبت جواب اصلی را جواب حقیقی مثبت در نظر میگیریم.
بعنوان مثال
$$a^3 = a^{ \frac{3}{1} } = a^{ \frac{6}{2} } =....= \sqrt[k]{a^{3k}} $$
اما برای اعداد منفی(پایه منفی) مشکلات زیادی وجود دارد. اگر تعریف به کمک ریشه n ام را در حالت عادی برای اعداد حقیقی در نظر بگیریم عباراتی که صورت کسر عددی زوج باشد جواب حقیقی دارند اما جوابهایی که صورت فرد باشد و مخرج زوج باشد جواب حقیقی ندارد
بطور مثال
$ -۲^{ \frac{۱}{۲} } $ ریشه حقیقی ندارد اما اگر به جای $ \frac{۱}{۲} $ مقدار برابر آن یعنی $ \frac{۲}{۴} $ را قرار دهیم جواب حقیقی خواهیم داشت.
پس برای همخوانی با حالت توان صحیح ، در بحث اعداد حقیقی ابتدا توانهای کسری را ساده می کنیم و اگر صحیح باشند آنها را بدست می آوریم وگرنه آن را تعریف نشده میگیریم.
اما در حالت کلی وقتی دامنه بحث اعداد مختلط است
برای هر عبارت تعریف داریم ولی دیگر $ a^{ \frac{m}{n} } $ با
$ a^{ \frac{km}{kn} } $ برابر نیست.
چون اولی ریشه n ام $a^m$
و دومی ریشه kn ام $ a^{km} $ است.
