آیا میشود زیر مجموعه ای از R پیدا کرد که بورل نباشد؟ثابت کنید!

Question

زیرمجموعه ای از R(اعداد حقیقی)پیدا کنید که بورل نباشد با اثبات.

Comments

منظور از R مجموعه اعداد حقیقی است.یک اشکال تایپی داشت منظورم این بود: آیا میشود زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی پیدا کرد که بورل نباشد؟اگه چنین زیر مجموعه ای وجود دارد ثابت کنید بورل نیست!

---

اگر قبل از سوال در سایت سرچ میکردید به سوالات مشابه می رسیدید. همینجا هم اگر سوالات مشابه رو نگاه کنید سوال شما قبلا پرسیده شده.

---

من سرچ کردم، سوالات مشابه رو هم دیدم و همچنین میدونم که مجموعه های کانتور جواب سوال،منظور از سوال من این بود که اثبات اینکه مجموعه کانتور بورل نیست.

---

لطفا من رو با @fardina از دیدگاهتون مطلع کنید.

ولی مجموعه کانتور که بورل هست. مجموعه کانتور مجموعه ای بسته س.
ولی خوب مطمئنا مجموعه ی کانتور دارای زیرمجموعه ای غیربورل هست.

---

@mansoormahdabi به هیچ وجه معنای جملهٔ پرسش‌تان با معنای جملهٔ دیدگاهتان یکسان نیست. متن پرسش‌تان را ویرایش کنید. متن کنونی همان‌گونه که آقای @fardina اشاره داشتند تکراری است و قاعدتا به عنوان پرسش تکراری بسته خواهد شد.

Answer 1

لطفا به سوالات مشابه نگاه کنید. از آنجا که سیگماجبر بورل زیرمجموعه ای از سیگماجبر لبگ هست لذا هر مجموعه ای که (لبگ)اندازه پذیر نباشد، بورل هم نخواهد بود.

برای ساختن مثالی از مجموعه ای اندازه ناپذیر اینجا را ببینید: ساخت مجموعه های اندازه ناپذیر

برای دیدن مثالی که لبگ اندازه پذیر است اما بورل اندازه پذیر نیست: مجموعه ای لبگ اندازه پذیر که بورل اندازه پذیر نباشد.

می توان نشان داده کاردینال سیگماجبر بورل برابر است با $c$ در حالیکه کاردینال سیگماجبر لبگ برابر است با $2^c$ لذا بی نهایت مجموعه لبگ اندازه پذیر وجود دارد که بورل اندازه پذیر نیستند.