منظور از $\limsup$ دنباله ی $a_n$ عضو ماکسیمم(یا سوپریمم) مجموعه ی حدود زیر دنباله های این دنباله است. و بطور مشابه منظور از $\liminf a_n$ مینیمم(یا اینفیمم) چنین مجموعه ای می باشد.
اگر $\lim_{n\to \infty} a_n=L$ در اینصورت تمام زیر دناله های آن هم به $L$ همگرا هستند لذا مجموعه ی حدود زیر دنباله ای این دنباله مجموعه ی تک عضوی $\{L\}$ خواهد بود لذا $\limsup a_n=\liminf a_n=L$.
برعکس اگر $\limsup a_n=\liminf a_n=L$ در اینصورت چون عضو ماکزیمم مجموعه ی حدود زیر دنباله ای با عضو مینیمم این مجموعه برابر شده است پس مجموعه ی حدود زیر دنباله ای تک عضوی $\{L\}$ است. که این هم یعنی حد تمام زیر دنباله ها برابر $L$ است که نتیجه می دهد خود دنباله هم به $L$ همگراست.
