می توان ثابت کرد هر تابع ساده را می توان به صورت $f=\sum_1^m a_k\chi_{A_k}$ نوشت که $a_k\in \mathbb C$ و $A_1,\cdots,A_n$ زیر مجموعه های مجزای $ X$ هستند که اجتماعشان برابر $X$ است.
و به طور مشابه فرض کنید $g=\sum_1^n b_k\chi_{B_k}$.
در اینصورت $A_i=\bigcup_{k=1}^n (A_i\cap B_k)$ (برای هر $1\leq i\leq m$ )و $B_j=\bigcup_{k=1}^m (A_k\cap B_j) $ (برای هر $1\leq j\leq n$)
قرار دهید $C_{ij}:=A_i\cap B_j$ و نشان دهید
$$f=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_i\chi_{C_{ij}} \\
g=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n b_j\chi_{C_{ij}}$$
