معادله همگن را حل کنید

Question

معادله همگن:

Comments

طفا قبل از ایجاد سوال راهنمای تایپ ریاضی را ببینید.
فقط یک سوال بپرسید و آن را با جزئیات توضیح دهید.
تلاش خود را برای حل مساله بنویسید.

Answer 1

حل الف را می نویسم بقیه موارد به طور مشابه حل می شوند. در معادلات همگن از تغییر متعییر $u =\frac{y}{x} $ استفاده می کنیم پس $y=ux $ یعنی $y^{'}=u+u^{'}x $ با جایگذاری در معادله داریم: $$u^2x^2dx=(x^2u-x^2)du \Rightarrow u^2dx=(u-1)du$$ که یک معادله تفکیک پذیر است. $dx = \frac{u-1}{u^2}du $ از طرفین انتگرال میگیریم داریم: $$x= \int \frac{u-1}{u^2}du= \int \frac{u}{u^2}du - \int \frac{1}{u^2}du =ln \ u+ \frac{1}{u} $$ حال کافیست $u =\frac{y}{x} $ را جایگذاری کنیم.