اگر $ \forall x; f_{n}(x)=n $ آیا $ f_{n} $ در اندازه همگراست ؟ چرا؟

Question

تعریف می کنیم $f_{n} :\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ با ضابطه $$ f_{n}(x)=n \quad \forall x\in\mathbb R $$ آیا $ f_{n} $ در اندازه همگراست ؟ چرا؟

Answer 1

از قضیه زیر استفاده میکنیم(که معمولا در همه کتاب های آنالیز حقیقی موجود است):

اگر $f_n\to f $ همگرای در اندازه باشد آنگاه یک زیر دنباله $ f_{n_k} $ وجود دارد که $f_{n_k}\to f $ به صورت نقطه وار تقریبا همه جا.

اما هیچ زیر دنباله ای از $ (n) $ همگرا نیست بنابراین نمی تواند همگرای در اندازه باشد.