اثبات جبری رابطه : $\sin x= \sin \alpha \Leftrightarrow x=2k\pi+\alpha \ \ \ \ x=2k\pi+(\pi-\alpha)$

Question

با سلام رابطه زیر به صورت جبری(به صورت هندسی نمیخواهم با رابطه های مثلثاتی ) چگونه اثبات میشود ؟

$$\sin x= \sin \alpha \Leftrightarrow x=2k\pi+\alpha \ \ \ \ x=2k\pi+(\pi-\alpha)$$

با تشکر

Answer 1

$$sin x-sin \alpha =0 \Rightarrow 2sin \frac{x- \alpha }{2}cos \frac{x+ \alpha }{2}=0 $$

$$sin \frac{x- \alpha }{2}=0 \Rightarrow \frac{x- \alpha }{2}=k \pi \Rightarrow x=2k \pi + \alpha $$ یا $$cos \frac{x+ \alpha }{2}=0 \Rightarrow \frac{x+ \alpha }{2}=k \pi+ \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x=2k \pi + \pi - \alpha$$