اثبات محدب بودن تابع $e$ به توان $x$

Question

محدب بودن تابع $e$ به توان $x$ را اثبات کنید.

Comments

واقعا متوجه نشدم چرا برچسب پرسش‌تان را «مثلثات» گذاشته‌بودید! خودتان فکر کرده بودید چرا این کار را کرده‌بودید و ربط پرسش به مثلثات چیست؟ بعلاوه برای تایپ از راهنمای سمت چپ صفحه و یا صقحه‌های راهنمای سایت استفاده کنید. اگر برای پرسش‌هایتان حاضر نباشید زمان بگذارید، آنگاه دیگران نیز حاضر نخواهند بود برای پاسخ دادن به آنها زمان بگذارند!

Answer 1

مشتق دوم توابع نشان دهنده محدب یا مقعر بودن توابع است .

اگر از تابع مورد نظر شما دو بار مشتق بگیریم داریم :

$$f(x)=e^x \\f'(x)=e^x\\f''(x)=e^x$$

که میدانیم :

$$f''(x)=e^x >0 \ \ : \forall x \in \mathbb{R}$$

در نتیجه تابع مورد نظر محدب است .

$\Box .$