آنالیز حقیقی

Question

اگر $T \in B(X,Y)$ باشد نشان دهید.

$||T||= sup \big\{< Tx, y^{ \ast }> : ||x|| \leq 1 , ||y^{ \ast }|| \leq 1 , x \in X , y^{ \ast } \in Y^{ \ast } \big\}$

Comments

آقای صبحی لطفا عنوان سوال خوب انتخاب کنید. این عنوان خیلی کلیه. امیدوارم روی ویرایش کلیک کنید و درستش کنید.

Answer 1

طبق تعریف داریم $\parallel T \parallel = \sup \big\{ \parallel T(x) \parallel : x \in X , \parallel x \parallel \leq 1 \big\}$ .از طرفی طبق یکی از نتایج قضیه ی هان باناخ برای هر $x \in X$ وجود دارد $y^{\ast} \in Y^{\ast}$ با $\parallel y^{\ast} \parallel \leq 1$ چنانکه داشته باشیم $< T(x) , y^{\ast} > =\parallel T(x) \parallel$ .بنابراین واضح است که

$$\big\{ \parallel T(x) \parallel : x \in X , \parallel x \parallel \leq 1 \big\} \subseteq \big\{< T(x) , y^{\ast} >: x \in X , y^{\ast} \in Y^{\ast} \parallel x \parallel \leq 1 , \parallel y^{\ast} \parallel \leq 1 \big\}$$ که از این نیز با توجه به خواص$\sup$ و تعریف اولیه ی فوق خواهیم داشت $$\parallel T \parallel \leq \sup \big\{< T(x) , y^{\ast} >: x \in X , y^{\ast} \in Y^{\ast} \parallel x \parallel \leq 1 , \parallel y^{\ast} \parallel \leq 1 \big\}$$ .از طرفی برای هر $x \in X , y^{\ast} \in Y^{\ast}$ با $\parallel x \parallel \leq 1 , \parallel y^{\ast} \parallel \leq 1$ داریم $$< T(x) , y^{\ast} > \leq \parallel T(x) \parallel \parallel y^{\ast} \parallel \leq \parallel T \parallel \parallel x \parallel \parallel y^{\ast} \parallel \leq \parallel T \parallel$$ از اینرو $$\sup \big\{< T(x) , y^{\ast} >: x \in X , y^{\ast} \in Y^{\ast} \parallel x \parallel \leq 1 , \parallel y^{\ast} \parallel \leq 1 \big\} \leq \parallel T \parallel$$ و حکم تمام است.

Comments

باسلام و خسته نباشید ازاین همه  لطف و عنایات شما دوستان در پاسخگویی به سئوالات بنده و دوستان نهایت تشکر را دارم .    جوابتون عالی بود.

نرم T