طبق تعریف داریم
$ \parallel T \parallel = \sup \big\{ \parallel T(x) \parallel : x \in X , \parallel x \parallel \leq 1 \big\} $ .از طرفی طبق یکی از نتایج قضیه ی هان باناخ برای هر $x \in X $ وجود دارد $ y^{\ast} \in Y^{\ast} $ با
$ \parallel y^{\ast} \parallel \leq 1 $ چنانکه داشته باشیم
$ < T(x) , y^{\ast} > =\parallel T(x) \parallel $ .بنابراین واضح است که
$$\big\{ \parallel T(x) \parallel : x \in X , \parallel x \parallel \leq 1 \big\}
\subseteq \big\{< T(x) , y^{\ast} >: x \in X , y^{\ast} \in Y^{\ast} \parallel x \parallel \leq 1 , \parallel y^{\ast} \parallel \leq 1 \big\} $$
که از این نیز با توجه به خواص$\sup$ و تعریف اولیه ی فوق خواهیم داشت
$$\parallel T \parallel \leq \sup \big\{< T(x) , y^{\ast} >: x \in X , y^{\ast} \in Y^{\ast} \parallel x \parallel \leq 1 , \parallel y^{\ast} \parallel \leq 1 \big\} $$ .از طرفی برای هر $ x \in X , y^{\ast} \in Y^{\ast} $ با $ \parallel x \parallel \leq 1 , \parallel y^{\ast} \parallel \leq 1$ داریم
$$ < T(x) , y^{\ast} > \leq \parallel T(x) \parallel \parallel y^{\ast} \parallel \leq \parallel T \parallel \parallel x \parallel \parallel y^{\ast} \parallel \leq \parallel T \parallel $$ از اینرو
$$ \sup \big\{< T(x) , y^{\ast} >: x \in X , y^{\ast} \in Y^{\ast} \parallel x \parallel \leq 1 , \parallel y^{\ast} \parallel \leq 1 \big\} \leq \parallel T \parallel $$ و حکم تمام است.
