المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال $1$

Question

سینا می خواهد برای دوره کردن کتابهای ریاضیات، ادبیات و فیزیک سه سال دبیرستان($9$ کتاب) برنامه ریزی کند به نحوی که کتابهای هر مبحث به ترتیب پایه های آنها مطالعه شود(برای مثال ابتدا کتاب فیزیک $1$ سپس فیزیک $2$) او به چند ترتیب مختلف می تواند همه ی کتابها را مطالعه کند؟

Answer 1

برای درک بهتر راه حل ابتدا فرض کنیم دو نوع کتاب فیزیک( با دایره نشان میدهم) و ریاضی را با همان شرایط بالا داریم در هر حالتی که حساب کنیم با حذف کتابهای ریاضی کتابهای فیزیک پشت سر هم هستند در واقع مثل اینه که ما کتابهای فیزیک رو به ترتیب قرار داده باشیم و بخواهیم کتابهای ریاضی رو بینشون پخش کنیم لذا شکل زیر رو داریم

ولی دقت کنید اگر ما از فرمول انتخاب $ 3 $ جایگاه از $ 12 $ جایگاه استفاده کنیم غلطه چون اگر فقط یک کتاب ریاضی در منطقه ی شماره $ 3 $ در شکل قرار گیرد مهم نیست که در کدام یک از خانه های این منطقه قرار گیرد نحوه شمارش: اگر هر سه کتاب ریاضی کنار هم باشند لذا باید از این $ 4 $منطقه $1 $ منطقه رو انتخاب کنیم یا کتابهای سال اول و دوم کنار هم باشند و کتاب سوم جدا لذا باید از این $4 $ منطقه $ 2 $ منطقه انتخاب کنیم یا کتابهای دوم و سوم کنار هم باشند مانند بالاباید از این $4 $ منطقه $ 2 $ منطقه انتخاب کنیم یا هر سه کتاب از هم جدا و بین کتابهای فیزیک باشند لذا باید از این $4 $ منطقه $ 3$ منطقه انتخاب کنیم یعنی

${4 \choose 1} +2 \times {4 \choose 2} +{4 \choose 3}=4+2 \times 6+4= 20$

اما در حالت $ 3$کتاب ابتدا یکی از 20 حالت قرار گیری دو کتاب رو در نظر میگیریم و استدلال بالا را دوباره تکرار میکنیم با این تفاوت که این بار همانند شکل زیر(دایره کتابهای فیزیک و مثلث کتابهای ادبیات) بجای $ 4$ منطقه $ 7$ منطقه داریم پس یعنی

$ {7 \choose 1} +2 \times {7\choose 2} +{7 \choose 3}=7+2 \times 21+35= 84$

پس با ضرب در 20 حالت انتخاب جایگاه دو کتاب تعداد کل حالت ها $ 1680 $ می شود

Answer 2

تعداد راه برابر است با انتخاب 3 مکان از 9 مکان ( که کتاب های ریاضی رو به ترتیب تو اون مکان ها قرار میدیم ) و 3 مکان از 6 مکان باقی مانده ( کتاب های فیزیک رو به ترتیب قرار میدیم ) جایگاه 3 کتاب ادبیات هم به صورت یکتا مشخص میشن :

$$ \binom{9}{3} * \binom{6}{3} =1680$$

Comments

چه قدر جالب حل کردی.به نظرم بهترین پاسخ بود

Answer 3

برای حل این مسئله به ترتیب کتابهای ادبیات، ریاضی و فیزیک را با ا، ر، ف نامگذاری می کنیم. 9 جایگشت در نظر میگیریم. با توجه به اهمیت ترتیب کتابها، جایگشت9ام و8ام، نباید، کتابهای ف1، ر1 و ا1 باشن.

حالت اول: اولین جایگشت ر1 و آخرین جایگشت ر3. در این صورت 7 حالت برای قرار گرفتن ر2 وجود داره.

حالت دوم: اولین جایگشت ر1 و آخری، ف3 باشه. در این صورت 21 حالت برای قرار گرفتن ر2 و ر3 وجود داره.

حالت سوم: اولین جایگشت ر1 و اخرین، ا3. به طور مشابه 21 حالت داریم.(به طور کلی تمام حالتهایی که در آن ف3 و ا3 در آخر باشن، مثل هم هستن.)

حالت چهارم: دومین جایگشت ر1 و آخری ر3. در این صورت، جایگشت اول میتواند ا1 یا ف1 باشد و برای ر2، 6 حالت وجود داره. پس، کل حالتها میشه 12.

به همین روال، تمام حالتهایی رو که ر1 میتونه با جایگشت اخر داشته باشه در نظر میگیریم. با احتساب همین حالتهای ممکن برای ا1 و ف1، کلا میشه 2103. البته توجه داریم مثلا در حالتی که ر1، جایگاه پنجم باشه و ر3 آخر، اونوقت جایگاههای اول تا چهارم، بسته به اینکه چطور ف1، ا1، ف2، ا2 یا ف3 و ا3 انتخاب شه، 8 یا 16 حالتی میشن.

اما تکرار پیش میاد. مثلا اگر ر1 در جایگشت 5ام و ف3 در جایگشت اخر باشه، میتونه با حالتی که ف1 در جایگشت7ام و ف3، جایگشت آخر باشه، یکی بشن.

لذا با کم کردن این تکرارها، جواب آخر میشه 1680.