المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال $9$

Question

دنباله ای از اعداد طبیعی بصورت زیر تعریف شده است:

$$\begin{cases}a_{0} =1 & \\ a_{n+1} =13^{ a_{n} } & \end{cases}$$

رقم یکان $a_{1392}$ کدام است؟

1)1

2)3

3)5

4)7

5)9

Answer 1

جواب میشه گزینه 2. داریم $a_{1392}= 13^{13 ^{13^{...^{13}}} }$. که تعداد $13$ ها $1392$ تاست.

داریم $13 \equiv 1 \mod 4$ لذا $13 ^{13}=4k+1$ . بنابراین $13^{13 ^{13}} \equiv 13^{4k+1} \equiv 3 \mod 10$.

به طور مشابه با محاسبه ی $13^{13^{13 ^{13}}} \equiv 3 \mod 10$ داریم که

$$a_{1392}= 13^{13 ^{13^{...^{13}}} } \equiv 3 \mod 10$$ .