المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$16$

Question

کوچکترین عدد طبیعی که دارای $1392$ مقسوم علیه مثبت است، چند عامل اول دارد؟

Answer 1

6 تا عامل داره. چون کوچکترین عدد طبیعی مد نظره لذا باید ، عوامل اول آن به ترتیب 2و 3 و 5 و7 و 11و 13 باشه.

تعداد مقسوم علیه های یک عدد مثبت $ n= p_{1} ^{ a_{1} }... p_{k} ^{ a_{k} } $ برابره با $ \prod_1^k ( a_{i}+1) $ . که بنابر فرض مسئله داریم $ \prod_1^k ( a_{i}+1) =1392 $.

با تجزیه $ 1392$ به عوامل اول داریم $1392 = 2^{4} \times3 \times29 $.

که در این صورت $ 20 $ حالت برای اختصاص توان ها به عوامل اول $ n $ وجود داره. اما در میان این حالتها، حالتی که منجر به تولید کوچکترین عدد میشه، وقتیه که $ 1392 $ رو به صورت $2\times2\times2\times2\times3\times29 $
در نظر بگیریم. یعنی داشته باشیم :

$$ n = 2^{28}\times3^{2} \times5\times7\times11\times13 $$