المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$16$

Question

کوچکترین عدد طبیعی که دارای $1392$ مقسوم علیه مثبت است، چند عامل اول دارد؟

Answer 1

6 تا عامل داره. چون کوچکترین عدد طبیعی مد نظره لذا باید ، عوامل اول آن به ترتیب 2و 3 و 5 و7 و 11و 13 باشه.

تعداد مقسوم علیه های یک عدد مثبت $n= p_{1} ^{ a_{1} }... p_{k} ^{ a_{k} }$ برابره با $\prod_1^k ( a_{i}+1)$ . که بنابر فرض مسئله داریم $\prod_1^k ( a_{i}+1) =1392$.

با تجزیه $1392$ به عوامل اول داریم $1392 = 2^{4} \times3 \times29$.

که در این صورت $20$ حالت برای اختصاص توان ها به عوامل اول $n$ وجود داره. اما در میان این حالتها، حالتی که منجر به تولید کوچکترین عدد میشه، وقتیه که $1392$ رو به صورت $2\times2\times2\times2\times3\times29$
در نظر بگیریم. یعنی داشته باشیم :

$$n = 2^{28}\times3^{2} \times5\times7\times11\times13$$