المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$ (سی و دومین دوره) سوال $4$

Question

یک عدد طبیعی را کوچولو می نامیم هرگاه دست کم سه مقسوم علیه مثبت داشته باشد و برابر مجموع کوچکترین سه مقسوم علیه مثبتش باشد چند عدد کوچولو وجود دارد؟

1. $0$
2. $1$
3. $3$
4. $6$

5. بینهایت

Answer 1

فرض $n$ عدد طبیعی کوچولوی دلخواهی باشه نشان میدهیم $n$ باید برابر 6 باشد لذا فقط و فقط یک عدد کوچولو داریم

فرض عدد اول $p$ کوچکترین عدد اولی باشه که $n$ رو عاد میکنه لذا $n=kp$ دو حالت داریم

1)فرض عدد اول دیگری غیر از $p$ مانند $q$ موجود باشد که $n$ را عاد میکند لذا از $p$ بزرگتر است و چون هردو اول هستند باید $k$ را عاد کند یعنی $q \leq k$ اگر بعد از $p$ ، $q$ کوچکترین مقسوم علیه $n$ باشد آنگاه $n$ برابر مجموع $1+p+q$ است در غیر اینصورت داریم

$n \leq 1+p+q \leq 2q \leq 2k \leq kp=n$

لذا باید طرفین برابر باشند لذا $2k=kp$ یعنی $2=p$ و همچنین $1+p+q =2q$ پس $q=3$ وهمچنین از رابطهی وسطی یعنی $2q =2k$ داریم $k=q$ پس

$n=kp=pq=6$

حال فرض چنین $q$ ای موجود نباشد لذا داریم $n= p^{t}$ و برای اینکه $3$مقسوم علیه داشته باشد باید$t$ از $1$ بزرگتر باشد و برای کوچولو بودن باید داشته باشیم $n=1+p+p^{2}$ و چون $p$ طرف چپ را عاد میکند لذا طرف راست را عاد می کند و چون$p+p^{2}$ را عاد میکند لذا باید $1$ را نیز عاد کند که با اینکه عددی اول است در تناقض است. و حکم ثابت شد.

Answer 2

جواب میشه گزینه2. این عدد کوچولو رو $n$ بنامیم و چون $1$ اولین مقسوم علیه کوچک هر عددی است، فرض کنیم $p, q$ دو کوچکترین مقسوم علیه دیگری هستند که $n=1+p+q$و $p< q$.

ثابت می کنیم که $p, q$ دو عدد اول هستن. اگر $\gcd (p, q) \neq 1$ در این صورت داریم $\gcd(p, q)=g$. با توجه به اینکه $g < q$، لذا باید $n=1+p+g$. اما $p=rg$ و $r < p$ و چون $r | p, p|n$ ، لذا $n=1+r+g$ که تناقض است، زیرا فرض کردیم که $p, q$ دو مقسوم علیه کوچک بعد از 1 باشند.

اما حل اصلی مسئله!!!!!

داریم $n=1+p+q$ ، چون $p|1+p+q$ و $p | p$ ، لذا $p | 1+q$ یعنی $q+1= \alpha p$.

با جایگذاری در معادله اصلی داریم: $n= \alpha (1+p)$.

اما چون $q | n$ و $\gcd (p, q) =1$، لذا داریم: $q | \alpha + 1$
یعنی $\alpha + 1= \beta q$ .پس $n = \beta pq$.

لذا $\beta pq = 1+p+q$ .

در معادله فوق، چنانچه $\beta = 1$، آنگاه $p=2 , q=3$. که یک جواب معادله است. اما ثابت می کنیم چنانچه $\beta > 1$ ، آنگاه معادله جواب ندارد.

فرض که $\beta > 1$. آنگاه داریم:

$pq > p + q$ و $pq > 1$، لذا $\beta pq > pq + pq > 1 + p + q=n$ .

بنابراین معادله $\beta pq = 1+p+q$ به ازای $\beta > 1$ فاقد جواب است.

و این عدد کوچولو فقط 6 هستش!

Comments

ممکنه فقط یک عدد اول عدد $n$ رو عاد کنه

---

اگه فقط یه عدد اول n رو عاد کنه که دیگه غیر ممکنه کوچولو باشه
یعنی n به صورت توانی از اون عدد اوله n=p^{t}
که در اینضورت کوچکترین مقسوم علیه هاش میشن 1, p,p^{2}
که اگر t=1 یعنی n=pکه در شرط مسئله صدق نمیکنه
اگر همt بزرگتر مساوی 2 باشه در اینصورت حالت اول: t=2
 n=1+p+p^{2
که غیر ممکنه
حالت دوم: t > 2
با توجه به اینکه همواره p^{3} > 1+p+p^{2
(میتوان با مقایسه نمودار x^{3 و نمودار سمت راست(متغیر x) این مطلب را برای اعداد صحیح مثبت،مشاهده کرد).
لذا در چنین حالتی غیر ممکن است که n عددی کوچولو باشد.
البته شما جوابرو در این حالت، مختصرتر بیان کردین.