جواب میشه گزینه2. این عدد کوچولو رو $ n $ بنامیم و چون $ 1 $ اولین مقسوم علیه کوچک هر عددی است، فرض کنیم $ p, q $ دو کوچکترین مقسوم علیه دیگری هستند که $ n=1+p+q $و $p< q $.
ثابت می کنیم که $p, q $ دو عدد اول هستن. اگر $ \gcd (p, q) \neq 1 $ در این صورت داریم $ \gcd(p, q)=g $. با توجه به اینکه $ g < q$، لذا باید $ n=1+p+g $. اما $ p=rg$ و $ r < p $ و چون $ r | p, p|n $ ، لذا $ n=1+r+g $ که تناقض است، زیرا فرض کردیم که $ p, q $ دو مقسوم علیه کوچک بعد از 1 باشند.
اما حل اصلی مسئله!!!!!
داریم $ n=1+p+q $ ، چون $ p|1+p+q $ و $p | p $ ، لذا $ p | 1+q $
یعنی $ q+1= \alpha p $.
با جایگذاری در معادله اصلی داریم:
$ n= \alpha (1+p)$.
اما چون $ q | n $ و $ \gcd (p, q) =1 $، لذا داریم: $ q | \alpha + 1 $
یعنی $ \alpha + 1= \beta q$ .پس $ n = \beta pq $.
لذا $ \beta pq = 1+p+q $ .
در معادله فوق، چنانچه $ \beta = 1 $، آنگاه $ p=2 , q=3 $. که یک جواب معادله است. اما ثابت می کنیم چنانچه $ \beta > 1 $ ، آنگاه معادله جواب ندارد.
فرض که $ \beta > 1$. آنگاه داریم:
$ pq > p + q $ و $ pq > 1 $، لذا $ \beta pq > pq + pq > 1 + p + q=n $ .
بنابراین معادله $\beta pq = 1+p+q $ به ازای $ \beta > 1 $ فاقد جواب است.
و این عدد کوچولو فقط 6 هستش!
