المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$13$

Question

چند زوج مرتب $ (p,q) $ از اعداد اول موجودند که برای آنها داشته باشیم: $$ p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2}$$

Answer 1

اگر $ p=q$ باشد لذا با حل معادله جواب $ p=q=37$ بدست می آید بدون کاستن از کلیت(متقارن بودن فرمول) می توانیم فرض کنیم که $ p > q$ لذا از رابطه ی زیر داریم که$ p > 37$و $ 37 > q$ است

$$q^{2} = p^{2}-p^{2}+ q^{2} < p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2} < p^{2}-q^{2}+ q^{2}=p^{2}$$ یا $$q^{2} < 37^{2} < p^{2} \Rightarrow q < 37 < p$$

$ \\ $ $ \\ $ $ \\ $

با بردن $q^{2} $ به طرف دوم رابطه ی داده شده در سوال و تجزیه طرفین داریم:

$$p(p-q)= p^{2}-pq = 37^{2} -q^{2} =(37-q)(37+q)$$ وچون $p $ عددی اول است لذا یکی از فاکتورهای $(37-q)(37+q) $ را باید عاد کند و چون از 37 بزرگتر است لذا باید فاکتور $ (37+q)$ را عاد کند و طبق رابطه ی زیر باید $ p=37+q $ که امکان پذیر نیست لذا این مساله فقط یک جواب دارد

$$37+q < 37+37=2 \times 37 < 2p $$ $ \\ $ $ \\ $ $ \\ $

دلیل امکان ناپذیر بودن رابطه ی $ p=37+q $

اگر $ q $ عدد اول فردی باشد لذا $ 37+q $ عددی زوج می شود که عدد اول نیست لذا تنها انتخاب $q=2 $ است که $p=39 $ بدست می آید اما $39$ اول نیست