به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+2 امتیاز
515 بازدید
در دبیرستان توسط erfanm (13,871 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

چند زوج مرتب $ (p,q) $ از اعداد اول موجودند که برای آنها داشته باشیم: $$ p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2}$$

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط erfanm (13,871 امتیاز)
انتخاب شده توسط admin
 
بهترین پاسخ

اگر $ p=q$ باشد لذا با حل معادله جواب $ p=q=37$ بدست می آید بدون کاستن از کلیت(متقارن بودن فرمول) می توانیم فرض کنیم که $ p > q$ لذا از رابطه ی زیر داریم که$ p > 37$و $ 37 > q$ است

$$q^{2} = p^{2}-p^{2}+ q^{2} < p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2} < p^{2}-q^{2}+ q^{2}=p^{2}$$ یا $$q^{2} < 37^{2} < p^{2} \Rightarrow q < 37 < p$$

$ \\ $ $ \\ $ $ \\ $

با بردن $q^{2} $ به طرف دوم رابطه ی داده شده در سوال و تجزیه طرفین داریم:

$$p(p-q)= p^{2}-pq = 37^{2} -q^{2} =(37-q)(37+q)$$ وچون $p $ عددی اول است لذا یکی از فاکتورهای $(37-q)(37+q) $ را باید عاد کند و چون از 37 بزرگتر است لذا باید فاکتور $ (37+q)$ را عاد کند و طبق رابطه ی زیر باید $ p=37+q $ که امکان پذیر نیست لذا این مساله فقط یک جواب دارد

$$37+q < 37+37=2 \times 37 < 2p $$ $ \\ $ $ \\ $ $ \\ $

دلیل امکان ناپذیر بودن رابطه ی $ p=37+q $

اگر $ q $ عدد اول فردی باشد لذا $ 37+q $ عددی زوج می شود که عدد اول نیست لذا تنها انتخاب $q=2 $ است که $p=39 $ بدست می آید اما $39$ اول نیست

آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...