المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$13$

Question

چند زوج مرتب $(p,q)$ از اعداد اول موجودند که برای آنها داشته باشیم:

$$p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2}$$

Answer 1

اگر $p=q$ باشد لذا با حل معادله جواب $p=q=37$ بدست می آید بدون کاستن از کلیت(متقارن بودن فرمول) می توانیم فرض کنیم که $p > q$ لذا از رابطه ی زیر داریم که$p > 37$و $37 > q$ است

$$q^{2} = p^{2}-p^{2}+ q^{2} < p^{2}-pq+ q^{2}= 37^{2} < p^{2}-q^{2}+ q^{2}=p^{2}$$ یا $$q^{2} < 37^{2} < p^{2} \Rightarrow q < 37 < p$$

$\\ $ $\\ $ $\\ $

با بردن $q^{2}$ به طرف دوم رابطه ی داده شده در سوال و تجزیه طرفین داریم:

$$p(p-q)= p^{2}-pq = 37^{2} -q^{2} =(37-q)(37+q)$$ وچون $p$ عددی اول است لذا یکی از فاکتورهای $(37-q)(37+q)$ را باید عاد کند و چون از 37 بزرگتر است لذا باید فاکتور $(37+q)$ را عاد کند و طبق رابطه ی زیر باید $p=37+q$ که امکان پذیر نیست لذا این مساله فقط یک جواب دارد

$$37+q < 37+37=2 \times 37 < 2p$$ $\\ $ $\\ $ $\\ $

دلیل امکان ناپذیر بودن رابطه ی $p=37+q$

اگر $q$ عدد اول فردی باشد لذا $37+q$ عددی زوج می شود که عدد اول نیست لذا تنها انتخاب $q=2$ است که $p=39$ بدست می آید اما $39$ اول نیست