المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$19$

Question

در یک پادگان 1196 سرباز در 13 ردیف 92 تایی به شکل منظم ایستاده اند.آخرین سرباز از ردیف آخر یک سرباز را می بیند اگر روی خط واصل بین آنها سرباز دیگری نباشد او چند سرباز از ردیف اول را می بیند؟(سربازها را نقطه فرض کنید)

Comments

دوستان اگر کسی پاسخ این سوالو میدونه لطفا رو سایت بزارین.

---

پاسخش راحته اما یکم طولانیه سعی میکنم در اولین فرصت جوابشو بذارم

Answer 1

اگر سربازها روبصورت بالا روی محور و بصورت نقطه نگاه کنیم. سوال اینه که اگر خط بین $(12,92)$و نقاطی که مولفه ی اولشون صفره رو رسم کنیم چه تعداد از این خطوط از نقاط قرمز رنگ فی ما بین عبور نمیکنند یا بطور معادل هیچ نقطه ای با مختصات طبیعی در معادله ی این خطوط صدق نکنه. ابتدا برای نقطه ی دلخواه $(0, y_{0} )$ معادله خط گذرنده رو بدست می آوریم. $$m= \frac{92- y_{0}}{12} \Rightarrow (y-92)12=(92- y_{0})(x-12) \Rightarrow 12(y- y_{0})=x(92-y_{0})$$ راحت تر اینه که تعداد نقاطی بصورت $(0, y_{0} )$رو که نقاطی با مختصات صحیح موجودند که تو معادله صدق می کنند رو حساب کنیم بعد آنها رو از تعداد کل نقاط کم کنیم. (اگر$y_{0} =92$ آنگاه بوضوح $11$ نقطه بینشون قرار دارند.)

$12$ طرف اول رو عاد میکنه لذا باید طرف دوم معادله ی خط یعنی $x(92-y_{0})$ رو عاد کنه

اگر $x=6$ آنگاه باید $2$ مقدار $(92-y_{0})$ رو عاد کنه یعنی $y_{0}=92-2a$ که تعداد این حالت برابر $[ \frac{92}{2} ]=46$ است.

اگر$x=4$ آنگاه باید $3$ مقدار $(92-y_{0})$ رو عاد کنه یعنی $y_{0}=92-3a$ که تعداد این حالت برابر $[ \frac{92}{3} ]=30$ است.

تعدادی از حالات بالا تکراری است در واقع وقتی تکراری ها اتفاق می افتند که $x=3$ یا$x=1$ باشند و تعداد این حالات برابر است با $[ \frac{92}{6} ]=15$

پس تعداد کل حالت هایی که قبول نیستند برابر است با $46+30-15=61$ که با جمع با حالتی که $y_{0} =92$ برابر می شود با $62$حالت یعنی تعداد حالات قابل قبول یا همون تعداد سربازانی که از نفر آخر قابل مشاهده هستند برابر است با $$93-62=31$$