المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال $10$

Question

می خواهیم با سه رنگ آبی ، قرمز و سبز هفت ناحیه درون شکل زیر را رنگ آمیزی کنیم بطوریکه ناحیه های همسایه رنگ های متفاوتی داشته باشند(ناحیه هایی که فقط در یک نقطه اشتراک دارند همسایه نیستند) این کار به چند طریق امکان پذیر است؟

Answer 1

ناحیه ی وسط میتونه هر کدام از اون سه رنگ باشه برای سه ناحیه ی همسایه آن دو حالت داریم یا هر سه یک رنگ هستند یا دو تا از یک رنگ و یکی از رنگ دیگه پس در هر حالت جوابها رو میشماریم و در نهایت پس از جمع کردن در سه حالت ممکن ناحیه وسط ضرب میکنیم.

الف) هر سه ناحیه ی همسایه ناحیه وسط یک رنگ باشند. پس دو حالت داریم(سه رنگ و یکی برای ناحیه وسط استفاده شده لذا دو رنگ باقی مانده) حال سه ناحیه برونی حالت های مشابهی دارند و فقط با یک نوع رنگ همسایه هستند لذا هر کدام به دو حالت می توانند رنگ شوند(دقت کنید با ناحیه وسط همسایه نیستند) پس در کل تعداد حالات این نوع برابر $16$ است.

ب)دو ناحیه همسایه ی ناحیه وسط یک رنگ و دیگری رنگ دیگر داشته باشد. در این حالت باید از این سه ناحیه دو ناحیه رو برای اینکه همرنگ باشند انتخاب کنیم پس $3$ حالت داریم و خود اینکه کدام یک از اون دورنگ باقیمانده استفاده شود $2$ حالت دارد. نواحی برونی به دو حالت در می آیند دو ناحیه که با دو نوع رنگ متفاوت مجاورند و یک ناحیه که با یک رنگ همسایه است این آخری خودش $2$ حالت دارد(یک رنگ استفاده شده برای همسایه هایش و دو رنگ برای خودش باقی مانده) و اون دو ناحیه ای که با دورنگ همسایه هستند$1$ حالت دارند.پس کل در این حالت $12$ حالت داریم

یعنی جواب می شود:

$$(12+16) \times 3=84$$