به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
2,188 بازدید
در دبیرستان توسط shahabmath

ثابت کنید شعاع دایره بر خط مماس در نقطه تماس عمود است.

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط saderi7

enter image description here

شکل رو در نظر بگیرید معادله دو خط مورد نظر رو مینویسیم :

$$y=\dfrac{y_a}{x_a}(x) \tag{1}$$ $$y-y_a=m(x-x_a)\tag{2}$$

$m$ در معادله $(2)$ شیب خط مماس بر دایره در نقطه $(x_a,y_a)$است .

شیب خط مماس بر دایره در نقطه $(x_a,y_a)$ یعنی مشتق منحنی (دایره ) در نقطه $(x_a,y_a)$ با مشتق گیری از منحنی و قرار دادن نقطه مورد نظر خواهیم داشت :

$$f(x,y):=x^2+y^2-r^2\\\dfrac{d}{dx}y|_{(x_a,y_a)}=\dfrac{-x_a}{y_a} \tag{3}$$

از $(3)$ نتیجه میگیریم که ضرب دو شیب دو خط برابر است با منفی یک بنابر این دو خط بر هم عمود هستند !

$ \Box .$
توسط fardina
+1
@saderi7
البته برچسب هندسه زدن لذا بهتر بود از مشتق استفاده نمیکردید :)
توسط saderi7
+1
@ fardina
خیلی ممنون دقت نکردم ! البته کابر عزیز @hadisnoori به صورت هندسه بیان کردند !
+1 امتیاز
توسط hadisnoori
ویرایش شده توسط hadisnoori

عمودبودن خط مماس در نقطه تماس بر شعاع دایره همانطور که در تصویر زیر مشاهده می کنیدکه فاصله مرکز دایره از خط مماس که برابر شعاع دایره می باشد، کوتاهترین فاصله می باشد. پس خط مماس در نقطه تماس بر شعاع دایره عمود است. توجه کنید که در هر وضعیت قرارگیری نقطه A روی خط مماس، مثلث قائم الزاویه ای خواهیم داشت که اضلاع قائم آن از وتر مثلث کوچکترند.enter image description here

توسط fardina
+1
چرا "فاصله مرکز دایره از خط مماس که برابر شعاع دایره می باشد، کوتاهترین فاصله می باشد"؟
توسط fardina
+2
@hadisnoori
جمله ای که نوشتم کمی نیاز به توضیح بیشتر دارد. باید ثابت کنیم OM کوتاهترین فاصله نقطه O از خط داده شده است. فرض کنیم A نقطه ای غیر از M باشد چون خط بر دایره مماس است پس تنها در یک‌نقطه یعنی M اشتراک دارند و لذا نقطه A خارج از دایره است پس OA> OM یعنی OM کوتاهترین فاصله است لذا OM بر خط عمود است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...