عمود بودن شعاع بر خط مماس

Question

ثابت کنید شعاع دایره بر خط مماس در نقطه تماس عمود است.

Answer 1

شکل رو در نظر بگیرید معادله دو خط مورد نظر رو مینویسیم :

$$y=\dfrac{y_a}{x_a}(x) \tag{1}$$ $$y-y_a=m(x-x_a)\tag{2}$$

$m$ در معادله $(2)$ شیب خط مماس بر دایره در نقطه $(x_a,y_a)$است .

شیب خط مماس بر دایره در نقطه $(x_a,y_a)$ یعنی مشتق منحنی (دایره ) در نقطه $(x_a,y_a)$ با مشتق گیری از منحنی و قرار دادن نقطه مورد نظر خواهیم داشت :

$$f(x,y):=x^2+y^2-r^2\\\dfrac{d}{dx}y|_{(x_a,y_a)}=\dfrac{-x_a}{y_a} \tag{3}$$

از $(3)$ نتیجه میگیریم که ضرب دو شیب دو خط برابر است با منفی یک بنابر این دو خط بر هم عمود هستند !

$\Box .$

Comments

@saderi7
البته برچسب هندسه زدن لذا بهتر بود از مشتق استفاده نمیکردید :)

---

@ fardina
خیلی ممنون دقت نکردم ! البته کابر عزیز @hadisnoori به صورت هندسه بیان کردند !

Answer 2

عمودبودن خط مماس در نقطه تماس بر شعاع دایره همانطور که در تصویر زیر مشاهده می کنیدکه فاصله مرکز دایره از خط مماس که برابر شعاع دایره می باشد، کوتاهترین فاصله می باشد. پس خط مماس در نقطه تماس بر شعاع دایره عمود است. توجه کنید که در هر وضعیت قرارگیری نقطه A روی خط مماس، مثلث قائم الزاویه ای خواهیم داشت که اضلاع قائم آن از وتر مثلث کوچکترند.

Comments

چرا "فاصله مرکز دایره از خط مماس که برابر شعاع دایره می باشد، کوتاهترین فاصله می باشد"؟

---

@hadisnoori
جمله ای که نوشتم کمی نیاز به توضیح بیشتر دارد. باید ثابت کنیم OM کوتاهترین فاصله نقطه O از خط داده شده است. فرض کنیم A نقطه ای غیر از M باشد چون خط بر دایره مماس است پس تنها در یک‌نقطه یعنی M اشتراک دارند و لذا نقطه A خارج از دایره است پس OA> OM یعنی OM کوتاهترین فاصله است لذا OM بر خط عمود است.

Answer 3

شما فقط کافیه شعاع OA رو امتداد بدید تا محیط دایره رو در نقطه B قطع کنه و AB قطر دایره باشه از اونجایی که خط فرضا d بر دایره مماسه و قطر AB هم یک وتر از دایره و با خط ما متقاطع هست میتونیم زاویه A رو یک زاویه ظلی در نظر بگیریم که روبرو به کمان روبرو به قطر هست و از اونجایی که زاویه ظلی نصف کمان روبروشه پس میتونیم بیان کنیم که زاویه A نصف ۱۸۰ برابر ۹۰ درجه هست پس شعاع در نقطه A بر خط d عموده!

Comments

آقا یا خانم بی نام پاسخ شما نادرست است. زیرا برای اثبات اینکه زاویه ظلی برابر با نصف کمان رو به رویش است باید حکم همین پرسش را ابتدا ثابت کنید.