این سوال خیلی کلی است، ولی باز هم خوب بود.اما نمیشود آن را در اینجا اثبات کرد چون اثبات طولانی است.
بنا به تقارن فرض کنید $.a \leq b \leq c \leq d$ برای این که چهار عدد ویژگی ها را داشته باشند باید هر سه شرط زیر همزمان برقرار باشد:
1)$$a+b+c > d$$
*این شرط برای وجود هر چهارضلعی لازم است.
2)هر چهار عدد همزمان برابر نباشند.
*این شرط به این دلیل است که اگر هر چهار عدد برابر باشند آنگاه چهارضلعی لزوما لوزی است.
3)حداقل یکی از نامساوی های زیر برقرار باشد:
$$ (d-a)^{2} \geq c^{2} - b^{2} $$
$$ (b-a)^{2} \geq d^{2} - c^{2} $$
$$ (c-a)^{2} \geq d^{2} - b^{2} $$
*توجه کنید که هر کدام از نامساوی های شرط سوم که برقرار باشد، ذوزنقه ای وجود دارد که قاعده های آن اعداد سمت چپ نامساوی و ساق های آن اعداد سمت راست نامساوی هستند.
مثلا اگر نامساوی اول برقرار باشد، آنگاه ذوزنقه ای با قاعده های $a,d$ و ساق های $b,c$ وجود دارد.
