Question

بین همه مثلث های متساوی الساقینی که محیطشان یکسان است، نشان دهید که مثلث متساوی الاضلاع دارای بیشترین مساحت است.(حل با استفاده از کاربرد مشتق)

Answer 1

اگرطول هرساق را$a$وطول قاعده را$2b$فرض کنیم پس $p=2a+2b$ و $s=ab sinx$

پس $b= \frac{p-2a}{2} $ و $s=a \times \frac{p-2a}{2} \sqrt[]{1- cos x^{2} } $

$ s=a \times \frac{p-2a}{2} \sqrt[]{1- \frac{b^2}{a^2}} $ $ s(a)=\frac{p-2a}{4} \sqrt[]{4pa-p^2} $

درنتیجه $ s'(a)= \frac{- \sqrt[]{4pa-p^2} }{2}+ \frac{p(p-2a)}{2\sqrt[]{4pa-p^2}}=0 $که خواهیم داشت $a= \frac{p}{3} $

وقاعده نیز $2b=\frac{p}{3}$ پس مثلث متساوی الاضلاع بیشترین مساحت را دارا خواهد بود