همگرایی یا واگرایی انتگرال ناسرهٔ $\int_0^\infty e^{-x^2}{\rm d}x$ را تعیین کنید.

Question

همگرایی یا واگرایی انتگرال ناسرهٔ زیر را تعیین کنید.

$$\int_0^\infty e^{-x^2}dx $$

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

راهنمایی:

دوست عزیز,

می نویسیم, $$\int_0^\infty e^{-x^2} \, dx = \int_0^1 e^{-x^2} \, dx + \int_1^\infty e^{-x^2} \, dx$$

و بوضوح انتگرال اول گراندار می باشد(هر تابع پیوسته بر بازه فشرده کراندار است) و هم چنین برای انتگرال دوم داریم:

$$\int_1^\infty e^{-x^2} \, dx < \int_1^\infty e^{-x} \, dx = \lim_{x \to \infty} -e^{-x} + e^{-1} = 1/e < \infty $$

Answer 2

به یاد آورید که تابع توزیع چگالی یک متغیر تصادفی نرمال با میانگین $\mu$ و واریانس $\sigma^2$ برابر بود با

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

بنا به تعریف تابع توزیع چگالی، انتگرال این تابع بر روی کل دامنهٔ متغیرمان یعنی $\mathbb{R}$ باید برابر با ۱ باشد. توجه کنید که نمودار تابع توزیع چگالی یک متغیر تصادفی نرمال به شکل زنگوله و متقارن با محور تقارن $x=\mu$ است. چون انتگرال تابع توزیع با مساحت زیر نمودار آن برابر است پس این تقارن به ما می‌گوید که $\int_\mu^\infty f(x){\rm d}x$ باید با $\int_{-\infty}^\mu f(x){\rm d}x$ برابر باشد و چون جمع این دو انتگرال برابر با انتگرال بر روی کل $\mathbb{R}$ می‌شود پس در واقع داریم که

$$\int_\mu^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}{\rm d}x=\frac{1}{2}$$

اکنون بیایید این را با تابع آمده در پرسش شما مقایسه کنیم. اگر قرار دهیم $\mu=0$ و $\sigma^2=\frac{1}{2}$ آنگاه به برابری زیر می‌رسیم.

$$\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}{\rm d}x=\frac{1}{2}$$

توجه کنید که می‌توانیم ضریب ثابت را از انتگرال بیرون بیاوریم و سپس با تقسیم دو طرف بر آن داریم؛

$$\int_0^\infty e^{-x^2}{\rm d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

پس نه تنها نشان دادیم که انتگرال شما همگراست بلکه مقدار دقیق همگرایی‌اش را نیز بدست آوردیم.