راهنمایی:
بهتر است سوالی که گذاشته میشود. تعاریفی که در سوال استفاده شده است بیان شود.
جزء کسری یک عدد اینگونه تعریف میشود.
$\lbrace x\rbrace =x-\left[x\right]$
که $[]$ جزء صحیح می باشد.
بیاییم به سوال بطور دیگری نگاه کنیم. و بیاییم تا مقدار دلخواه $\sqrt{6}$ تقریب بزنیم.
میتوان به $\sqrt{6}$ به دید نقطه ثابت یا ریشه یک تابع نگاه کرد. مثلا:
$f(x)=x^2-6$
بوضوح $\sqrt{6}$
ریشه تابع می باشد. حال با روش نیوتون موجود ریشه ان را تقریب بزنیم.
$$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
که
$f(x_n) = x_n^2-6$و
$f'(x_n) = 2 x_n$
بنابراین داریم:
$$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_{n} + \frac{6}{x_{n}}\right)$$
از همگرا بودن روش نیوتون میدانیم.
$\sqrt{6}$
$ x_n \to $
اگر اخطای
$\epsilon=10^{-n}$
در نظر بگیریم. در این صورت جزء کسری
$\sqrt{6}$
را تا اعشار $n-1$
محاسبه میکنیم.
