Question

زاویه های یک مثلث متناسب با اعداد 6،5 و 1 می باشد. کوچکترین ارتفاع این مثلث چند برابر بزرگترین ضلع آن است؟

Answer 1

اگر زاویه ها را $A $ و $ B $ و $C $ بنامیم داریم: $$ \frac{A}{6} = \frac{C}{5} = \frac{B}{1} = \frac{A+B+C}{12} =15$$ پس داریم:$A=90 $ و $C=75 $ و $B=15 $ کوچکترین ارتفاع همان ارتفاع وارد بر وتر است بزرگترین ضلع هم وتر است.

$S= \frac{AH \times BC}{2}= \frac{AB \times AC}{2} $ پس $ AH \times BC=AB \times AC$ به کمک زاویه $ B $ داریم: $$ sin(15)= \frac{AC}{BC} \Rightarrow AC=sin(15) \times BC $$ و $$ cos(15)= \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB=cos(15) \times BC $$ با جایگذاری این دو رابطه داریم:

$ AH \times BC=AB \times AC=sin(15) \times BC \times cos(15) \times BC$ پس $ \frac{AH}{BC} =sin(15) \times cos(15)= \frac{2sin(15) \times cos(15)}{2}= \frac{sin(30)}{2}= \frac{1}{4} $