Question

اگر$\frac{x+y}{5} = \frac{y+z}{6} = \frac{x+z}{7}$ و x,y,z صفر نباشند، مقدار عددی $\frac{xy+yz+zx}{ x^{2} + y^{2} + z^{2} }$ چقدر است؟

Answer 1

از تساوی دو کسر اول و دوم (از سمت چپ) داریم:

$5z-6x$ = $y$

از تساوی کسر دوم و سوم داریم:

$\frac{6x-z}{7}$ = $y$

از این دو نتیجه داریم:

$3z$ = $4x$

و از این نتیجه و نتیجه ی اول داریم:

$3y$ = $2x$

پس:

$3z$ = $6y$ = $4x$

بنابراین:

$\frac{26}{9} x^{2}$ = $xy+yz+zx$

و

$\frac{29}{9} x^{2}$ = $x^{2} + y^{2} + z^{2}$

درنتیجه جواب برابر با $\frac{26}{29}$ است.