اثبات همگرایی دنباله ی زیر

Question

ثابت کنید دنباله ی زیر همگراست:

$$ a_{n} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{ F_{i} } $$

که در آن $F_i$ بیانگر $i$ امین عدد دنباله ی فیبوناچی است.

$$F_1=1 , F_2=2 , \forall i \geq 3 : F_i = F_{i-1}+ F_{i-2}$$

Comments

@saderi7
ممنون. من دنبال راه حلی با این نکته بودم.

Answer 1

میتوان ثابت کرد که دنباله $a_n$ صعودی است و همچنین با توجه به صعودی بودن دنباله فیبوناچی خواهیم داشت $\dfrac{F_{i-1}}{F_{i-2}} \geq 1 $

در نتیجه داریم : $$\begin{align} \frac{1}{F_i} & \leq \frac{F_{i-1}}{F_iF_{i-2}} = \frac{F_{i} - F_{i-2}}{F_iF_{i-2}} \\& = \frac{1}{F_{i-2}} - \frac{1}{F_i} \\ &= \left(\frac{1}{F_{i-2}} + \frac{1}{F_{i-1}}\right) - \left(\frac{1}{F_{i-1}} + \frac{1}{F_i}\right)\\ &= \frac{F_{i}}{F_{i-2}F_{i-1}} - \frac{F_{i+1}}{F_{i-1}F_i} \end{align} $$

از اینجا ثابت میکنیم که :

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{F_i} = 2 + \sum_{i=3}^n \frac{1}{F_i} \le 2 + \frac{F_3}{F_1F_2} - \frac{F_{i+1}}{F_{i-1}F_i} \le 2 + \frac{2}{1\cdot 1} = 4$$

دنباله $a_n$ از بالا کراندار است و میدانیم که دنباله صعودی از بالا کراندار همگراست بنابراین دنباله $a_n$ همگراست .

Answer 2

اولا $ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac{ F_{n+1} }{ F_{n} }= \dfrac{1+ \sqrt{5} }{2} $ که اثباتش برعهده خودتون. ثانیا بنابه آزمون دالامبر برای اینکه ببینیم سری همگراست یا نه باید ببینیم حد$ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac{ \dfrac{1}{F_{n+1}} }{ \dfrac{1}{F_{n}} } $ چی میشه که بنا به اولا میشه $ \dfrac{2}{1+ \sqrt{5} } < 1$ پس سری همگراست و بنابراین دنباله موردنظر همگراست.