حداکثر مساحت چهارضلعی با اضلاع داده شده

Question

اضلاع چهارضلعی محدب $ABCD$ به ترتیب (درجهت ساعتگرد) برابر $a$ و $b$ و $c$ و $d$ است. ثابت کنید مساحت چهارضلعی حداکثر $ \frac{1}{4}(a+b)(c+d) $ است.

Comments

اگه کسی ایده ای داره بگه لطفا.

---

این که برای یک مستطیل هم صحیح نیست!

---

نه دیگه. درسته. چه مشکلی داره؟ برای مستطیل هم درسته. مثال نقضتون چیه؟

---

طول وعرض مستطیل به ترتیب 6و2 باشه مساحت 12 میشه با فرمول شما 16 میشه
احتمالا a+cدرb+dدر یک چهارم میشه

---

باز هم مشکلی نداره. من تو صورت سوال نوشتم "حداکثر". الان هم مساحت شده 12 که از 16 کمتره.
چه مشکلی داره؟

---

ابتدا وسط اضلاع رو بهم وصل میکنیم شکل خاصل متوازی الاضلاع میشه که نصف مساحت رو میگیره و وسط اضلاع شکل حاصل رو بهم وصل میکنیم شکل بدست آمده متوازی الاضلاع میشه که مساحت آن باز نصف متوازی الاضلاع اولیه هست
حال با کمک نامساوی ها جواب بدست میاد
مساحت حداکثر هم برای مربع صادق هست که برای درست بودن مسئله همین شکل منتظم کفایت میکنه

---

قضیه تالس میگوید که متوازی الاضلاع بوجود می آید.
اگر واضح نیست با شکل و اثبات بگویم تا اگر ابهاماتی باشد رفع شود.؟

---

امیر حسین جان لطفا قضاوت نکنید.
من احترام خاصی به شما قائل هستم و تنها کسی هستید که با او بحث میکنم تا مطلبی یاد بگیرم.
شاید در مورد لجباز بودنتان اشتباه قضاوت کردم.
بله بررسی کردم
لطفا وتر های این چهار گوش را رسم کنید و بعد وسط اضلاع را مشخص و بر هم وصل کنید.
اگر مثلث ها را با قضیه تالس بسنجید اثبات خواهد شد که اضلاع رو برو موازی وتر میانشان و به اندازه نصف آن هستند.