اگر$ f$پیوسته و کراندار باشد ثابت کنید$ \| f \|_{ \infty } = \| f \|$

Question

اگر $ f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ پیوسته و کراندار باشد . ثابت کنید $ \parallel f \parallel _{ \infty } = \parallel f \parallel $

که در آن $ \|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in\mathbb R\} $ و $ \| f \| _{ \infty } =\inf \big\{ \alpha : | f | \leq \alpha(a.e) \big\} $

Comments

در قسمت عنوان و دیدگاه اگر فرمول ریاضی مینویسید باید فقط از دو علامت دلار استفاده کنید و دیگه <math> رو بردارید.

---

منظورتونو از هر کدوم از نرم ها بنویسید لطفا.
$||.||_\infty$همون essential sup. هست؟ و منظورتون از $||f||=\sup\{|f(x)|:x\in \mathbb R\}$?

---

می دانیم منظور از $\|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in\mathbb R\} $و
$  \| f \| _{ \infty } =\inf \big\{ \alpha : | f |  \leq  \alpha(a.e) \big\}   $

Answer 1

از آنجا که $ |f(x)|\leq \|f\| $ به ازای هر $x\in\mathbb R $ لذا واضح است که $\|f\|_\infty\leq \|f\| $

حال باید نشان دهیم $\|f\|\leq \|f\|_\infty $ :

به برهان خلف فرض کنیم $ \|f\|_\infty < \|f\|$ در اینصورت یک عدد حقیقی $$\|f\|_\infty < a< \|f\| \tag{1}\label{1}$$ وجود دارد. اما بنابر تعریف $ \sup $ نقطه ی $ x_0\in\mathbb R $ وجود دارد که $a< f(x_0)< \|f\| $ حال اگر تعریف پیوستگی برای نقطه ی $ x_0 $ و $ \epsilon=f(x_0)-a> 0 $ بنویسیم در اینصورت $ \delta>0 $ هست که برای $ |x-x_0|< \delta$ داریم: $|f(x)-f(x_0)|< \epsilon $ یعنی در این فاصله $\delta $ همسایگی که اندازه اش مثبت است داریم $ f(x)>a $ که این هم ایجاب می کند $ \|f\|_\infty\geq a $ که با $ \eqref{1} $ در تناقض است.

Comments

لطف میکنید جمله
"یعنی در این فاصله $\delta$همسایگی که اندازه اش مثبت است داریم$ f(x)>a$ که این هم ایجاب می کند $\|f\|_\infty\geq a$  "

را بیشتر توضیح دهید. تشکر

---

از امکان تایپ ریاضی اینجا استفاده کنید قشنگتره.
خوب جمله اول که واضحه. در اون همسایگی $|x-x_0|< \delta$ داریم $|f(x)-f(x_0)|< \epsilon=f(x_0)-a$ و لذا از خاصیت قدرمطلق داریم
$-\epsilon=a-f(x_0)< f(x)-f(x_0)< \epsilon$ از نامساوی سمت چپ نتیجه میشه روی اون دلتا همسایگی $f(x)> a$ .  حالا از تعریف نرم $\|f\|_\infty$ چون  $ f $ روی یک مجموعه با اندازه مثبت( همون دلتاهمسایگی) بزرگتر از  $ a $  هست پس باید $\|f\|_\infty\geq a$. (اگه  $ \|f\|_\infty< a $ به تناقض می رسیم)

---

در واقع چون برای هر x داریم f(x)>0 پس باید نرم f در بینهایت هم بزرگتر از صفر باشد.
درسته؟
ببخشید برای تایپ فرمولها در دیدگاه فرمول نویس مشاهده نمیشود. باید عضو بشم؟

---

در قسمت دیدگاه باید فرمول رو بین دو تا دلار بذارید و بنویسید. میتونید در قسمت سوال یا جواب بنویسید بعد اینجا کپی کنید.
اونی هم که نوشتید نمیدونم چه ارتباطی با موضوع بحث ما داشت؟ نرم همیشه بزرگتر از صفر هست که.
من گفتم چون روی یک مجموعه با اندازه ی مثبت داریم $f(x)\geq a$ بنابراین $\|f\|_\infty\geq a$ .
دلیل این هم به تعریف $\|f\|_\infty$ برمیگرده که به صورت $\|f\|_\infty=\inf\{M: |f(x)|\leq M\ a.e.\}$ هست. اگر قرار باشه $\|f\|_\infty< a$ باشد آنگاه چون $|f|\leq \|f\|_\infty$ تقریبا همه جا با اینکه $|f|\geq  a$ روی دلتا همسایگی که اندازه اش مثبت است در تناقض می شود.

---

بسیار ممنون. توضیحات کامل بود متوجه شدم تشکر از زحماتتون