میدانیم هر عدد مانند $ n $ تجزیه ای بصورت $n= p_{1} ^{ a_{1} } p_{2} ^{ a_{2} }... p_{t} ^{ a_{t} } $ دارد و تعداد مقسوم علیه های آن برابر $( a_{1}+1)( a_{2}+1)...( a_{t}+1) $ است.
طبق فرض سوال به ازای هر مقسوم علیه $ n $ حالت لامپ شماره $ n $ یکبار تغییر می کند و اگر تعداد نهایی این تغییر هافرد باشد آنگاه چراغ در نهایت روشن میماند(اول روشن، دوم خاموش، سوم روشن و....) لذا باید تعداد مقسوم علیه ها فرد باشد و این زمانی ممکن است که تمام توانها زوج باشند(اگر حتی یکی از آنها فرد باشد با $1$ جمع شده و مضرب $2$ یا همون عدد زوج را تولید میکند)
پس باید تعداد اعدادی رو بیابیم که در تجزیه ی آنها تواهای زوجی از اعداد اول وجود دارند.
یعنی داشته باشیم:
$$n=p_{1} ^{ 2b_{1} } p_{2} ^{ 2b_{2} }... p_{t} ^{ 2b_{t} } \Rightarrow n= (p_{1} ^{ b_{1} } p_{2} ^{ b_{2} }... p_{t} ^{ b_{t} } )^{2} $$
پس باید دنبال اعدادی بگردیم که توان دوم آنها از $1393$ کمتر باشند پس باید پایه از $38 $ کمتر باشد و تعداد این اعداد
$37 $ است.
