ابتدا تابع در آمد را می نویسیم:
$x(100-2x)+y(125-3y)$
تابع هزینه برابر است با:$12x+11y+4xy$
سود برابر است با در آمد منهای هزینه یعنی
$$f=x(100-2x)+y(125-3y)- (12x+11y+4xy))=$$
$$-2x^{2}-3 y^{2}-4xy+88x+114y $$
حال باید مقدار اکسترمم این تابع را بیابیم:
$$f_x=-4x-4y+88=0$$
$$f_y=-4x-6y+114=0$$
پس داریم:
$\begin{cases}x+y=22\\2x+3y=57\end{cases}$ با حل دستگاه جوابهای $(x,y)=(9,13)$ بدست می آید.
$$f_{xx}=-4 $$
$$f_{yy}=-6 $$
$$f_{xy}=f_{yx}=-4 $$
در نتیجه:
$$ \bigtriangleup =24-16=8$$ پس این نقطه یک نقطه ی اکسترمم است.
