چه تعداد از لامپ از نوع اول و چه تعدا از نوع دوم بسازد تا بیشترین سود حاصل شود ؟

Question

یک تولید کننده ی لامپ دو نوع لامپ میسازد و از روی تجربه دریافته است که اگر$x$لامپ از نوع اول و $y$لامپ از نوع دوم بسازد . به ترتیب هر عدد را $100-2x$و$125-3y$ می فرشد . هزینه ساخت $x$ لامپ از نوع اول و $y$ لامپ از نوع دوم برابر $12x+11y+4xy$ است . چه تعداد از لامپ از نوع اول و چه تعدا از نوع دوم بسازد تا بیشترین سود حاصل شود ؟ خیلی ممنون

Answer 1

ابتدا تابع در آمد را می نویسیم: $x(100-2x)+y(125-3y)$ تابع هزینه برابر است با:$12x+11y+4xy$ سود برابر است با در آمد منهای هزینه یعنی

$$f=x(100-2x)+y(125-3y)- (12x+11y+4xy))=$$ $$-2x^{2}-3 y^{2}-4xy+88x+114y$$ حال باید مقدار اکسترمم این تابع را بیابیم: $$f_x=-4x-4y+88=0$$ $$f_y=-4x-6y+114=0$$ پس داریم: $\begin{cases}x+y=22\\2x+3y=57\end{cases}$ با حل دستگاه جوابهای $(x,y)=(9,13)$ بدست می آید.

$$f_{xx}=-4$$ $$f_{yy}=-6$$ $$f_{xy}=f_{yx}=-4$$ در نتیجه: $$\bigtriangleup =24-16=8$$ پس این نقطه یک نقطه ی اکسترمم است.