به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
49 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط AEbrahimiB (440 امتیاز)
ویرایش شده توسط AEbrahimiB

در یک گلدان نیمی از تیله‌ها قرمزرنگ و نیمی سفیدرنگ‌اند. بدون نگاه کردن، ۴ تیله از گلدان بیرون می‌کشیم. اگر تعداد تیله‌های داخل گلدان بسیار زیاد باشد، احتمال رخداد پیشامد «۲ قرمز و ۲ سفید» چند برابر «۴ قرمز یا ۴ سفید» است؟

توسط AEbrahimiB (440 امتیاز)
@AmirHosein چون پاسخ را پیدا و اضافه کردم، نیازی ندیدم که تلاش هم باقی بماند.
توسط AmirHosein (10,333 امتیاز)
@AEbrahimiB بسیار هم عالی.

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AEbrahimiB (440 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

تعداد تیله‌های سفید که برابر با تعداد تیله‌های قرمز نیز است را با $x$ نمایش دهید، آنگاه:

$$\begin{align} \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\binom{x}{2}^{2}}{2\times\binom{x}{4}} &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(\frac{x!}{2!(x-2)!})^{2}}{2\times\frac{x!}{4!(x-4)!}}\\ &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(\frac{x(x-1)}{2!})^{2}}{2\times\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4!} }\\ &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^{2}}{2\times\frac{x^4}{24}}\\ &= 3 \end{align}$$
+3 امتیاز
توسط AmirHosein (10,333 امتیاز)

زمانی که تعداد تلیه‌ها بسیار زیاد باشد (به بینهایت میل کردن) رنگ تیله‌ای که مرتبهٔ یکُم انتخاب می‌کنید و رنگ تیله‌ای که مرتبهٔ دوم انتخاب می‌کنید مستقل از هم می‌شوند چون آنقدر تعداد تیله‌های رنگ سفید و رنگ قرمز زیاد است که مثلا اگر تیلهٔ اول سفید باشد، حذف یک تیلهٔ سفید تفاوتی در شانس سفید بودن تیلهٔ دوم ایجاد نمی‌کند. توجه کنید که وقتی تعداد تیله‌ها زیاد نباشد نمی‌توان این را گفت مثلا اگر فقط ۱۰ تیلهٔ سفید می‌داشتیم. به هر حال با فرض پرسش شما داریم که رنگ تیله‌های انتخاب شده به طور مستقل از هم تعیین می‌شوند و چون نسبت تعدادشان یکسان و برابر رشد کرده‌است داریم که احتمال سفید بودن با احتمال قرمز بودن برابر و برابرِ $\frac{1}{2}$ است. اکنون احتمال دوتا سفید و دوتا قرمز را بر احتمال ۴ تا سفید یا ۴ تا قرمز تقسیم می‌کنیم. $$\frac{\binom{4}{2}\binom{2}{2}(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{2})^2}{\binom{4}{4}(\frac{1}{2})^4+\binom{4}{4}(\frac{1}{2})^4}=\frac{\frac{4\times 3}{2}}{2(1)}=3$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...