از مجموعه ای با دو نوع عضو و تعداد برابر ۴ عضو انتخاب میکنیم. نسبت احتمال انتخاب ۲ عضو از هر نوع به ۴ عضو از یک نوع وقتی تعداد عناصر زیاد شود

Question

در یک گلدان نیمی از تیله‌ها قرمزرنگ و نیمی سفیدرنگ‌اند. بدون نگاه کردن، ۴ تیله از گلدان بیرون می‌کشیم. اگر تعداد تیله‌های داخل گلدان بسیار زیاد باشد، احتمال رخداد پیشامد «۲ قرمز و ۲ سفید» چند برابر «۴ قرمز یا ۴ سفید» است؟

Comments

@AmirHosein چون پاسخ را پیدا و اضافه کردم، نیازی ندیدم که تلاش هم باقی بماند.

---

@AEbrahimiB بسیار هم عالی.

Answer 1

تعداد تیله‌های سفید که برابر با تعداد تیله‌های قرمز نیز است را با $x$ نمایش دهید، آنگاه:

$$\begin{align} \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\binom{x}{2}^{2}}{2\times\binom{x}{4}} &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(\frac{x!}{2!(x-2)!})^{2}}{2\times\frac{x!}{4!(x-4)!}}\\ &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(\frac{x(x-1)}{2!})^{2}}{2\times\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4!} }\\ &= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^{2}}{2\times\frac{x^4}{24}}\\ &= 3 \end{align}$$

Answer 2

زمانی که تعداد تلیه‌ها بسیار زیاد باشد (به بینهایت میل کردن) رنگ تیله‌ای که مرتبهٔ یکُم انتخاب می‌کنید و رنگ تیله‌ای که مرتبهٔ دوم انتخاب می‌کنید مستقل از هم می‌شوند چون آنقدر تعداد تیله‌های رنگ سفید و رنگ قرمز زیاد است که مثلا اگر تیلهٔ اول سفید باشد، حذف یک تیلهٔ سفید تفاوتی در شانس سفید بودن تیلهٔ دوم ایجاد نمی‌کند. توجه کنید که وقتی تعداد تیله‌ها زیاد نباشد نمی‌توان این را گفت مثلا اگر فقط ۱۰ تیلهٔ سفید می‌داشتیم. به هر حال با فرض پرسش شما داریم که رنگ تیله‌های انتخاب شده به طور مستقل از هم تعیین می‌شوند و چون نسبت تعدادشان یکسان و برابر رشد کرده‌است داریم که احتمال سفید بودن با احتمال قرمز بودن برابر و برابرِ $\frac{1}{2}$ است. اکنون احتمال دوتا سفید و دوتا قرمز را بر احتمال ۴ تا سفید یا ۴ تا قرمز تقسیم می‌کنیم. $$\frac{\binom{4}{2}\binom{2}{2}(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{2})^2}{\binom{4}{4}(\frac{1}{2})^4+\binom{4}{4}(\frac{1}{2})^4}=\frac{\frac{4\times 3}{2}}{2(1)}=3$$