اگر $ \phi :K \rightarrow M_{2} (Q)$ تکریختی حلقه ای باشد $n$ چه اعدادی می تواند باشد؟

Question

فرض کنیم K یک میدان شامل Q بوده و $[K:Q]=n$. اگر $ \phi :K \rightarrow M_{2} (Q)$ یک تکریختی حلقه ای باشد n چه اعدادی می تواند باشد.

1) 1

2) 1و 2

3) 1 و 2 و 4

4) نامتناهی حالت برای n وجود دارد.

Answer 1

این پرسش چون از توسیع میدانی سخن به میان می‌آورد (نماد $[K:\mathbb{Q}]$) در درس جبر ۲ کارشناسی قرار می‌گیرد و باز پرسشی نااستاندارد در کنکور!

تکریختی یعنی همریختی یک به یک. پس هستهٔ همریختی حلقه‌ای‌مان تک‌عضوی صفر است. اکنون از قضیهٔ یکم همریختی‌های حلقه‌ای داریم که $K\cong\frac{K}{\lbrace 0\rbrace}$ یکریخت است با تصویر همریختی‌مان یعنی $Im\phi$ که زیرحلقه‌ای از هم‌دامنه یعنی $M_2(\mathbb{Q})$ می‌باشد. پس این زیرحلقه باید با اعمال حلقهٔ دربردارنده‌اش یک میدان شود یعنی تمام عناصر ناصفرش وارون‌پذیر باشند. اما تمام ماتریس‌های دو در دو وارون‌پذیر نیستند پس کل حلقه نخواهد شد. چون یک توسیع میدانی روی میدان کوچکتر، تشکیل یک فضای برداری با بعد برابر با مرتبهٔ توسیع می‌دهد پس $K$ به عنوان یک $\mathbb{Q}$-فضای برداری یکریخت با $\mathbb{Q}^n$ است. $n$ برابر ۴ نمی‌تواند باشد چون در اینصورت تصویر همریختی‌مان که زیرحلقهٔ هم‌دامنه بود باید با $\mathbb{Q}^4$ یکریخت شود که تنها زیرفضای برداری با بعد کامل یک فضای برداری خودش است و $M_2(\mathbb{Q})$ نیز از بعد ۴ است پس گزینهٔ جیم رد می‌شود. $n$ بزرگتر از ۴ نیز نمی‌تواند باشد زیرا هم‌دامنه‌مان ۴ بعدی است و زیرفضای با بعد بالاتر نمی‌تواند داشته‌باشد. پس از ۰ تا ۳ تنها نامزدهای ما می‌باشند که متناهی اند پس گزینهٔ دال رد می‌شود. صفر رد می‌شود زیرا در اینصورت همریختی‌مان همریختی نایک‌به‌یک صفر خواهد بود. $n=1$ بدیهی ممکن است با نگاشتن هر عدد گویا به ماتریس‌های اسکالربرابر همانی. اما برای $n=2,3$ هنوز ایده‌ای ندارم.