اول از همه می دانیم
قضیه
$$A \in C^{n \times n}, \lim_{k \rightarrow \infty } A^{k}=0 \Longleftrightarrow \rho (A)< 1 $$
نکته بعدی اینه که
$$ A \in C^{n \times n}, \rho (A) \leq \mid \mid A \mid \mid $$
همچنین بدیهیه که
$$ \rho (A)^{k}= \rho ( A^{k} ) \leq \mid \mid A^{k} \mid \mid $$
حالا با توجه به اینا داریم
$$ \rho (A) \leq \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} } $$
حالا طبق تعریف شعاع طیفی بدیهیه که برای هر $ \epsilon >0$ داریم
$ \rho ( \frac{A}{ \rho (A)+ \epsilon } ) < 1$ پس بنا به قضیه ای که یادآوری کردیم داریم
$$ \lim_{k \rightarrow \infty } ( \frac{A}{ \rho (A)+ \epsilon } )^{k}=0 \Rightarrow \lim_{k \rightarrow \infty } \frac{ \mid \mid A^{k} \mid \mid}{ (\rho (A)+ \epsilon)^{k} }=0 $$
پس بنا به تعریف حد وجود دارد $M \in N $ به طوریکه برای همه ی
$k \geq M$ داریم
$\frac{ \mid \mid A^{k} \mid \mid}{ (\rho (A)+ \epsilon)^{k} } < 1$
یعنی برای $k \geq M$ داریم
$ \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} } < \rho (A)+ \epsilon $ پس برای $k \geq M$ داریم
$$ \rho (A) \leq \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} } \leq \rho (A)+ \epsilon $$
چون این رابطه برای هر $ \epsilon >0$ برقراره پس
$$ \lim_{k \rightarrow \infty } \mid \mid A^{k} \mid \mid ^{ \frac{1}{k} }=\rho (A) $$
