کمترین مقدار $BE+DE+CD$ در مثلث $ABC$

Question

در مثلث $ABC$ داریم $\hat{BAC}=40$ و $AB=10, AC=6$ . نقاط
$E,D$ به ترتیب روی $AB$ و $AC$ قرار دارند. کمترین مقدار $BE+DE+CD$ برابر است با

1. $6 \sqrt{3} +3$
2. $\frac{27}{2}$
3. $8 \sqrt{3}$
4. $14$

Answer 1

برای حل سوال از $B$ بر $AC$ عمودی رسم کرده به اندازه ی خودش امتداد میدهیم یعنی $BQ=QF$ با استفاده از همنهشتی به سادگی میتوان ثابت کرد که $FE=BE$ و بطور مشابه $GD=CD$ است.

پس داریم: $BE+ED+CD=EF+ED+DG$

حال اگر از $F$ به $D$ وصل کنیم از نامساوی مثلث خواهیم داشت:

$$FD < FE+ED$$ حال اگر از $F$ به $D$ وصل کنیم طبق نامساوی مثلث برای $FDG$ خواهیم داشت: $$FG < FD+DG$$ لذا با ترکیب این دو خواهیم داشت: $$FG < FD+DG < FE+ED +DG =BE+ED+CD$$

$FG$که یک مقدار ثابت است یک کران پایین برای $BE+ED+CD$ است و اگر خطی که $F$ را به $G$ وصل میکند را رسم کنیم و نقاط برخورد با اضلاع را $E$ و $D$ بنامیم آنگاه مقدار $BE+ED+CD$ برابر طول $FG$ میشود. یعنی کمترین مقدار زمانی است که $F,E,D,G$ در یک خط قرار گیرند.

حال با توجه به آنچه در اول گفته شد(شکل اول) داریم $AC=AG=6$ و $AF=AB+10$ و زاویه ی $\widehat{FAG}$ برابر $120$ است و با در نظر گرفتن مثلث $AFG$ و قانون کسینوس ها داریم:

$$\begin{align}FG&= \sqrt{ 10^{2} + 6^{2} -120cos(120)} \\ &= \sqrt{136+120 \times \frac{1}{2} } \\ &= \sqrt{196}\\ &=14\end{align}$$

Comments

بخاطر شکل نادرستی که برای مثلث اولیه رسم کردم معذرت میخوام.
چون شکل اولیه ی مثلث اشتباه رسم شده نقاط بد قرار گرفته اند برای درک بهتر جواب میتونید یک شکل مناسب برای خودتون بکشید.