المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال $2$

Question

$ x $ و $ y $ دو عدد حقیقی هستند که $ x+y=6 $ و $ x^{2} + y^{2}=40 $ حاصل $ x^{6} + y^{6} $ چقدر است؟

Answer 1

داریم: $ 36= 6^{2} = (x+y)^{2}= x^{2} + y ^{2} +2xy=40+2xy \rightarrow xy=-2$

بنابراین $$\begin{align} x^{4}+ y^{4} &= ( x^{2} + y^{2})^{2} -2 x^{2} \times y^{2} \\ &= 40^{2}-2\times( -2)^{2} \\ &=1600-8\\ &=1592 \end{align}$$

و از اینجا هم به دست می‌آوریم: $$\begin{align} x^{6} + y^{6}& =( x^{2} + y^{2} )( x^{4} - x^{2} \times y^{2} + y^{4} )\\ &=( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} - x^{2} \times y^{2})\\ &=40(1592-( -2^{2} ))\\ &=40\times1588\\ &=63520 \end{align}$$

Answer 2

داریم $ x^{2} + y^{2} +2xy-2xy=40 $ لذا داریم $xy=-2 $ .

$ x^{3}+ y^{3}=(x+y)( x^{2} + y^{2}-xy)=252 $ .

لذا $(x^{3}+ y^{3}) ^{2} = x^{6}+2 x^{3}y^{3}+ y^{6} =63504 $ بنابراین $ y^{6} + x^{6}=63520$

Answer 3

اولا چون $x^2+y^2=40,x+y=6 $ لذا با به توان دو رساندن طرفین داریم: $ xy=-2 $

حال اگر طرفین $ x^2+y^2=40 $ را به توان سه برسانیم داریم: $$ x^6+y^6+3(xy)^2(x^2+y^2)=(40)^3 $$

لذا از $xy=-2 $ و $x^2+y^2=40 $ خواهیم داشت: $x^6+y^6=(40)^3-12(40) $

Answer 4

چون سوال حاصل $ x^{6}+ y^{6} $ رو خواسته لذا طرفین رابطه ی $ x^{2} + y^{2} =40 $ را به توان $ 3 $ میرسانیم لذا از فرمول مکعب دو جمله ای داریم:

$$ \begin{align} (x^{2} + y^{2})^{3} &= x^{6}+3x^{4} y^{2} +3x^{2} y^{4} + y^{6}\\ &=x^{6}+ y^{6} +3x^{2} y^{2}(x^{2} +y^{2} )\\ &=64000 \end{align} $$

تنها مجهول $ x^{2} y^{2} $ است که کافیه رابطه ی اول رو به توان دو برسانیم و بامقایسه با رابطه ی دوم بدست می آید که $ x^{2} y^{2}=4 $ و لذا داریم:

$x^{6}+ y^{6} +3 \times 4 \times 40=64000 $ $ x^{6}+ y^{6} =64000-480= 63520$