تعدادی بلیط شرط بندی وجود دارد که 100 تا از آنها بلیط پیروزی هست. احتمال پیروزی را باید به دست آورد.

Question

فرض کنید یک میلیون بلیط شرط بندی وجود دارد که در میان آنها تنها 100 بلیط پیروزی وجود دارد. با این فرضیات موارد زیر را حل کنید.

a . اگر شخصی صد بلیط خریداری نماید احتمال برنده شدن وی چقدر است؟ b . چه تعداد شخص باید بلیط خریداری نماید تا با اطمینان بیشتر از 95 % برنده شرط بندی باشد.

Answer 1

احتمال پیروزی (بردن جایزه با فقط داشتن یک بلیت بخت‌آزمایی) در حالتی که صد بلیت در بین یک میلیون بلیت جایزه‌دار هستند برابر است با $p=\tfrac{100}{1000000}$ و احتمال شکست برابر است با $q=1-\tfrac{100}{1000000}$. احتمال بردن جایزه با خریدن ۱۰۰ بلیت بخت‌آزمایی برابر است با $$\sum_{i=1}^{100}\binom{100}{i}p^iq^{100-i}=1-q^{100}=0.009950661309$$ برای اینکه احتمال بردن جایزه بزرگتر یا مساوی $0.95$ شود باید $$\begin{array}{lll}1-q^m\geq 0.95 & \Longrightarrow & 0.05\geq q^m\\ & \overset{q<1}{\Longrightarrow} & m\geq \log_q0.05\\ & \Longrightarrow & m\geq 29955.82484\end{array}$$ پس باید دست‌کم ۲۹۹۵۶ بلیت بخت‌آزمایی خرید.