اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم
1)ابتدا ثابت میکنیم برای هر $ x \in X $ وجود دارد $ \alpha _{x} $ بطوریکه $A(x)= \alpha _{x} x $
2)ثابت میکنیم برای هر $x,y $ داریم $ \alpha _{x} = \alpha _{y} = \alpha $ یعنی $A(x)= \alpha x $ برای هر $ x \in X $
اثبات 1)ار برهان خلف استفاده میکنیم فرض کنید$ x \in X $ وجود دارد بطوریکه $ A(x)$ مضربی از $ x $ نیست (یعنی $ A(x) \neq 0 $ )حال زیر فضای تولید شده توسط $A(x),x $ را در نظر میگیریم و تابع $ \varphi $ را بصورت زیر تعریف میکنیم(روی مولد ها)
$$ \varphi (x)=1 \ \ \ \ \ \ , \ \ \varphi (A(x))=0 $$
این تابع خطی روی زیر فضای تولید شده توسط $A(x),x $ پیوسته است پس طبق قضیه هان-باناخ گسترش پیوسته ای به $ X $ مانند $ \widetilde{\varphi} $ دارد.
حال تعریف میکنیم:
$ K(y)= \widetilde{\varphi} (y)x$
طبق فرض مساله باید برای هر عنصر در $ X $ داشته باشیم $ AK=KA $
برای $x $ داریم:
$$KA(x)=K(A(x))= \widetilde{\varphi} (A(x))x =0x=0$$
که باید برابر
$$ AK(x)=A( \widetilde{\varphi} (x)x)=A(1x)=A(x)$$
باشدو این تناقض است با اینکه فرض کردیم $ A(x)$ مضربی از $ x $ نیست(مضرب صفر از آن است)
اثبات 2)
برای دو عنصر مستقل خطی $ x_{1} , x_{2} $ توابع خطی مانند $ \varphi_{1} , \varphi_{2} $ موجودند که :
$$ \varphi_{1}( x_{1} )=1 \ \ , \ \varphi_{1}(x_{2})=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi_{2}( x_{1} )=0 \ \ , \ \varphi_{2}(x_{2})=1 $$
تعریف میکنیم : $ K(x)=\varphi_{1}( x)x_{2}+ \varphi_{2}( x )x_{1}$ لذا $ K( x_{1})= x_{2}$ و $ K( x_{2})= x_{1}$ داریم:
$$AK(x_{1})=A(x_{2})= \alpha _{x_{2}}x_{2}$$
باید برابر
$$KA(x_{1})=K(\alpha _{x_{1}}x_{1})= \alpha _{x_{1}}K(x_{1})= \alpha _{x_{1}}x_{2}$$
باشد. پس داریم:
$$ \alpha _{x_{1}}= \alpha _{x_{2}} $$
