عملگر خطی کراندار ِD (با تعریف عملگر D)فشرده است اگر و فقط اگر حد دنباله در بینهایت صفر شود.

Question

گیریم $\big( \lambda _{1}, \lambda _{2} , \lambda _{3} ,... \big)$ یک دنباله کراندار از اعداد حقیقی باشد. برای $1 \leq p \prec \infty$ عملگر خطی کراندار $\phi :l^{p} \rightarrow l^{p}$را به صورت زیر تعریف میکنیم: $\phi \big(x_{1}, x_{2} , x _{3} ,... \big)$ برابر
$\big( \lambda _{1} x_{1} , \lambda _{2} x_{2} , \lambda _{3} x_{3} ,... \big)$

نشان دهید $\phi$ فشرده است اگر و فقط اگر $lim_{k \rightarrow \infty } \lambda _{k} =0$

Comments

خیلی ممنون برای طرح سوالتون.
ولی قانون سایت بر اینه که تلاش خودتون برای حل مساله رو بنویسید.

Answer 1

فرض عملگر خطی $\phi$ فشرده باشد. ثابت میکنیم اگر مقدار حد صفر نباشد آنگاه عملگر خطی $\phi$ فشرده نیست.لذا باید حد صفر باشد.

فرض کنید $lim_{k \rightarrow \infty } \lambda _{k} \neq 0$ باشد لذا طبق تعریف $\epsilon > 0$ و زیر دنباله ای مانند $\{\lambda _{ n_{k} }\}$ موجود ند به طوریکه $\mid \lambda _{ n_{k} } \mid \geq \epsilon$ .

حال دنباله ی $\{e _{k }\}$ را در نظر میگیریم .( $e _{k }$ برداری است که مولفه ی $k$ ام آن $1$ و مابقی مولفه ها صفر هستند) طبق تعریف $\phi$ مقدار $\phi(e _{k })$ برداری است که مولفه ی $k$ ام آن $\lambda _{k}$ و مابقی مولفه ها صفر هستند.بنابر این برای هر $i,j$ که $\lambda _{i}$ و $\lambda _{j}$ در زیر دنباله ی ذکر شده هستند داریم: $|| \phi(e _{i })- \phi(e _{j })||_{p} \geq \sqrt[p]{2} \epsilon$

حال گوی های باز به مرکز $\phi(e _{n_{k} })$ و شعاع $\frac{ \epsilon }{2}$ رادر نظر میگیریم در واقع نامتناهی گوی باز جدا از هم رو در $\overline{ \phi( B_{l^{p} } )}$ ساخته ایم و این نشان میدهد که $\overline{ \phi( B_{l^{p} } )}$ فشرده نیست اما طبق تعریف عملگر فشرده باید بستار تصویر هر مجموعه ی کراندار، فشرده باشد یعنی عملگر فشرده نیست و این با فرض مساله در تناقض است لذا حد دنباله ی اصلی برابر صفر است.

برعکس:

فرض کنید $lim_{k \rightarrow \infty } \lambda _{k} =0$ باشد نشان میدهیم عملگر $\phi$ فشرده است. تعریف میکنیم:

$$\phi _{n} (e _{k } ) =\begin{cases} \lambda _{k} e _{k } & k \leq n\\0 & k> n\end{cases}$$

از آنجایی که $\phi_{n}$ دارای رنک متناهی است لذا فشرده است. برای هر $x=( x_{1} , x_{2} , x_{3} ,...)$ داریم:

$$|| (\phi- \phi_{n})(x)||^{p}= \sum_{k=1}^{+ \infty } { \mid < ((\phi- \phi_{n})(x))_{k} > \mid }^{p} = \sum_{k \geq n+1}^{} \mid (\phi- \phi_{n}(x_{k} )) \mid^{p} \leq sup_{k \geq n+1} \mid \lambda _{k}\mid^{p} \parallel x \parallel_{l^{p}} ^{p}$$ بنابر این

$\parallel (\phi- \phi_{n})(x) \parallel \leq sup_{k \geq n+1} \mid \lambda _{k}\mid$ یعنی $\phi_{n}$ به $\phi$ در نرم همگراست و میدانیم حد (در نرم) یک دنباله از عملگرهای فشرده، خود فشرده است. و لذا حکم ثابت شد.