به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,063 بازدید
در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط wahedmohammadi

اگر $E$ و $F$ دو فضای نرمدار و $ T:E \rightarrow F $ یک عملگر خطی کراندار باشد، نشان دهید: $ \parallel T \parallel =sup \big\{ \parallel Tx \parallel : \parallel x \parallel \leq 1 \big\} =sup \big\{ \parallel Tx \parallel / \parallel x \parallel :x \neq 0\big\} $ .

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط fardina

اگر $ x\neq 0$ آنگاه $ \frac{x}{||x||} $ را در نظر بگیرید چون $||\frac{x}{||x||}||=1 $ لذا $ ||T(\frac{x}{||x||})||\in \big\{ \parallel Tx \parallel : \parallel x \parallel \leq 1 \big\}$ ولی $ ||T(\frac{x}{||x||})|| =\frac{1}{||x||}||T(x)||$ بنابراین $ ||T(\frac{x}{||x||})||\leq ||T|| $ و لذا
$$ \sup\big\{\frac{||T(x)||}{||x||}: x\neq 0\big\}\leq ||T|| $$ برای طرف دیگر هم کافی است دقت کنید که اگر $ ||x||\leq 1 $ آنگاه $||Tx||\leq \frac{||Tx||}{||x||} $ و لذا $$ ||T||\leq \sup\{\frac{||Tx||}{||x||}:x\neq 0\} $$

سال نو مبارک!


حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...