اگر $ x\neq 0$ آنگاه $ \frac{x}{||x||} $ را در نظر بگیرید چون $||\frac{x}{||x||}||=1 $ لذا $ ||T(\frac{x}{||x||})||\in \big\{ \parallel Tx \parallel : \parallel x \parallel \leq 1 \big\}$ ولی $ ||T(\frac{x}{||x||})|| =\frac{1}{||x||}||T(x)||$ بنابراین $ ||T(\frac{x}{||x||})||\leq ||T|| $ و لذا
$$ \sup\big\{\frac{||T(x)||}{||x||}: x\neq 0\big\}\leq ||T|| $$
برای طرف دیگر هم کافی است دقت کنید که اگر $ ||x||\leq 1 $ آنگاه $||Tx||\leq \frac{||Tx||}{||x||} $ و لذا
$$ ||T||\leq \sup\{\frac{||Tx||}{||x||}:x\neq 0\} $$
