به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
593 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

اگر $ A $ ماتریس $ n×n $ باشد بطوریکه $ T:x \rightarrow Ax $ و $ T: R^{n} \rightarrow R^{n} $ آنگاه $ \parallel T \parallel =? $

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

در حالت کلی اگر $ T:\mathbb R^p\to \mathbb R^q $ یک نگاشت خطی باشد نرم آن به صورت زیر تعریف می شود: $$ ||T||_{p,q}=\sup\{||T(x)||: x\in\mathbb R^p, ||x||\leq 1\} $$ نشان دهید که $||.||_{p,q}:\mathcal L(\mathbb R^p. \mathbb R^q)\to \mathbb R $ واقعا یک نرم است. ( منظور از
$ \mathcal L(\mathbb R^p,\mathbb R^q) $ فضای تمام توابع خطی از $\mathbb R^p $ به
$ \mathbb R^q $است. )

از طرفی می توان نشان داد که اگر $ T:\mathbb R^p\to\mathbb R^q $ نگاشتی خطی باشد، عدد ثابت مثبتی مانند
$ A $ هست که $ ||T(x)||\leq A||x||$ به ازای هر $ x\in\mathbb R^p $ .

در اینصورت می توان نشان داد که : $$||T||_{p,q}=\inf\{M>0: ||T(x)||\leq M||x||,\ x\in\mathbb R^p\} $$

مطالب بالا از بخش 21 کتاب آنالیز ریاضی بارتل هست. در کتاب رودین هم فصل توابع چند متغیره قسمت تبدیلات خطی این تعاریف باز اومده.

دارای دیدگاه توسط
+2
پس بلاخره جواب سوال چی میشه؟ این تعریف ها رو که از قبل میدونستیم. ممنون میشم جواب همین سوال را برای ماتریس n×n  بیان کنید.
دارای دیدگاه توسط
+1
خوب جوابتونو نوشتم دیگه. گفتم که :
$||T||_{p,q}=\sup\{||T(x)||=||Ax||: x\in\mathbb R^p, ||x||\leq 1\}$
دارای دیدگاه توسط
+2
@fardina

نرم $T$ رابطه ای با دترمینان ماتریس نداره؟؟؟
دارای دیدگاه توسط
+1
من واقعا اطلاعی ندارم. شاید رابطه ای داشته باشه ولی من نمیدونم.
دارای دیدگاه توسط
گویا که رابطه ی خاصی وجود نداره. یعنی نمیتونیم نرم رو برحسب تابعی از دترمینان نوشت. چون ماتریس های ناصفری وجود دارند که به عنوان یک عملگر خطی نرم آنها مخالف صفر است ولی دترمینان آنها صفر است. به این سوال رجوع کنید:
http://math.irancircle.com/index.php?qa=1332
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

البته اگر نرم متناظر با $p $ نرم ها را بخواهیم داریم:

$$||T||_{p}=\inf\{M>0: ||T(x)||_{p}\leq M||x||_{p},\ x\in\mathbb R^p\} =sup\{ \frac{||T(x)||_{p}}{||x||_{p}} ,\ 0 \neq x\in\mathbb R^p \}$$

برای $ p=1 $ داریم:

$$ ||T||_{1} =max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n \mid a_{ij} \mid $$

برای $ p= \infty $ داریم:

$$ ||T||_{ \infty } =max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n \mid a_{ij} \mid $$

برای $ p=2 $ داریم:

$$||T||_{2} =sup\{ \frac{||T(x)||_{2}}{||x||_{2}} ,\ 0 \neq x\in\mathbb R^p \}$$
و $$sup\{ \frac{||T(x)||_{2}^{2} }{||x||_{2}^{2} } \}=sup\{ \frac{ x^{T} A^{T} Ax}{||x||_{2}^{2}}\} = \Lambda_{max} (A^{T} A) $$

لذا داریم: $$||T||_{2} = \sqrt{\Lambda_{max} (A^{T} A)} $$ که در آن $ \Lambda_{max} $ برابر ماکزیمم مقدار ویژه ی ماتریس است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...