به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
719 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ A $ ماتریس $ n×n $ باشد بطوریکه $ T:x \rightarrow Ax $ و $ T: R^{n} \rightarrow R^{n} $ آنگاه $ \parallel T \parallel =? $

2 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط fardina

در حالت کلی اگر $ T:\mathbb R^p\to \mathbb R^q $ یک نگاشت خطی باشد نرم آن به صورت زیر تعریف می شود: $$ ||T||_{p,q}=\sup\{||T(x)||: x\in\mathbb R^p, ||x||\leq 1\} $$ نشان دهید که $||.||_{p,q}:\mathcal L(\mathbb R^p. \mathbb R^q)\to \mathbb R $ واقعا یک نرم است. ( منظور از
$ \mathcal L(\mathbb R^p,\mathbb R^q) $ فضای تمام توابع خطی از $\mathbb R^p $ به
$ \mathbb R^q $است. )

از طرفی می توان نشان داد که اگر $ T:\mathbb R^p\to\mathbb R^q $ نگاشتی خطی باشد، عدد ثابت مثبتی مانند
$ A $ هست که $ ||T(x)||\leq A||x||$ به ازای هر $ x\in\mathbb R^p $ .

در اینصورت می توان نشان داد که : $$||T||_{p,q}=\inf\{M>0: ||T(x)||\leq M||x||,\ x\in\mathbb R^p\} $$

مطالب بالا از بخش 21 کتاب آنالیز ریاضی بارتل هست. در کتاب رودین هم فصل توابع چند متغیره قسمت تبدیلات خطی این تعاریف باز اومده.

توسط
+2
پس بلاخره جواب سوال چی میشه؟ این تعریف ها رو که از قبل میدونستیم. ممنون میشم جواب همین سوال را برای ماتریس n×n  بیان کنید.
توسط fardina
+1
خوب جوابتونو نوشتم دیگه. گفتم که :
$||T||_{p,q}=\sup\{||T(x)||=||Ax||: x\in\mathbb R^p, ||x||\leq 1\}$
توسط رها
+2
@fardina

نرم $T$ رابطه ای با دترمینان ماتریس نداره؟؟؟
توسط fardina
+1
من واقعا اطلاعی ندارم. شاید رابطه ای داشته باشه ولی من نمیدونم.
توسط fardina
گویا که رابطه ی خاصی وجود نداره. یعنی نمیتونیم نرم رو برحسب تابعی از دترمینان نوشت. چون ماتریس های ناصفری وجود دارند که به عنوان یک عملگر خطی نرم آنها مخالف صفر است ولی دترمینان آنها صفر است. به این سوال رجوع کنید:
http://math.irancircle.com/index.php?qa=1332
+1 امتیاز
توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

البته اگر نرم متناظر با $p $ نرم ها را بخواهیم داریم:

$$||T||_{p}=\inf\{M>0: ||T(x)||_{p}\leq M||x||_{p},\ x\in\mathbb R^p\} =sup\{ \frac{||T(x)||_{p}}{||x||_{p}} ,\ 0 \neq x\in\mathbb R^p \}$$

برای $ p=1 $ داریم:

$$ ||T||_{1} =max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n \mid a_{ij} \mid $$

برای $ p= \infty $ داریم:

$$ ||T||_{ \infty } =max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n \mid a_{ij} \mid $$

برای $ p=2 $ داریم:

$$||T||_{2} =sup\{ \frac{||T(x)||_{2}}{||x||_{2}} ,\ 0 \neq x\in\mathbb R^p \}$$
و $$sup\{ \frac{||T(x)||_{2}^{2} }{||x||_{2}^{2} } \}=sup\{ \frac{ x^{T} A^{T} Ax}{||x||_{2}^{2}}\} = \Lambda_{max} (A^{T} A) $$

لذا داریم: $$||T||_{2} = \sqrt{\Lambda_{max} (A^{T} A)} $$ که در آن $ \Lambda_{max} $ برابر ماکزیمم مقدار ویژه ی ماتریس است.

hamyarapply

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...