نرم یک عملگر خطی

Question

اگر $ A $ ماتریس $ n×n $ باشد بطوریکه $ T:x \rightarrow Ax $ و $ T: R^{n} \rightarrow R^{n} $ آنگاه $ \parallel T \parallel =? $

Answer 1

در حالت کلی اگر $ T:\mathbb R^p\to \mathbb R^q $ یک نگاشت خطی باشد نرم آن به صورت زیر تعریف می شود: $$ ||T||_{p,q}=\sup\{||T(x)||: x\in\mathbb R^p, ||x||\leq 1\} $$ نشان دهید که $||.||_{p,q}:\mathcal L(\mathbb R^p. \mathbb R^q)\to \mathbb R $ واقعا یک نرم است. ( منظور از
$ \mathcal L(\mathbb R^p,\mathbb R^q) $ فضای تمام توابع خطی از $\mathbb R^p $ به
$ \mathbb R^q $است. )

از طرفی می توان نشان داد که اگر $ T:\mathbb R^p\to\mathbb R^q $ نگاشتی خطی باشد، عدد ثابت مثبتی مانند
$ A $ هست که $ ||T(x)||\leq A||x||$ به ازای هر $ x\in\mathbb R^p $ .

در اینصورت می توان نشان داد که : $$||T||_{p,q}=\inf\{M>0: ||T(x)||\leq M||x||,\ x\in\mathbb R^p\} $$

مطالب بالا از بخش 21 کتاب آنالیز ریاضی بارتل هست. در کتاب رودین هم فصل توابع چند متغیره قسمت تبدیلات خطی این تعاریف باز اومده.

Comments

پس بلاخره جواب سوال چی میشه؟ این تعریف ها رو که از قبل میدونستیم. ممنون میشم جواب همین سوال را برای ماتریس n×n  بیان کنید.

---

خوب جوابتونو نوشتم دیگه. گفتم که :
$||T||_{p,q}=\sup\{||T(x)||=||Ax||: x\in\mathbb R^p, ||x||\leq 1\}$

---

@fardina

نرم $T$ رابطه ای با دترمینان ماتریس نداره؟؟؟

---

من واقعا اطلاعی ندارم. شاید رابطه ای داشته باشه ولی من نمیدونم.

---

گویا که رابطه ی خاصی وجود نداره. یعنی نمیتونیم نرم رو برحسب تابعی از دترمینان نوشت. چون ماتریس های ناصفری وجود دارند که به عنوان یک عملگر خطی نرم آنها مخالف صفر است ولی دترمینان آنها صفر است. به این سوال رجوع کنید:
http://math.irancircle.com/index.php?qa=1332

Answer 2

البته اگر نرم متناظر با $p $ نرم ها را بخواهیم داریم:

$$||T||_{p}=\inf\{M>0: ||T(x)||_{p}\leq M||x||_{p},\ x\in\mathbb R^p\} =sup\{ \frac{||T(x)||_{p}}{||x||_{p}} ,\ 0 \neq x\in\mathbb R^p \}$$

برای $ p=1 $ داریم:

$$ ||T||_{1} =max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^n \mid a_{ij} \mid $$

برای $ p= \infty $ داریم:

$$ ||T||_{ \infty } =max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^n \mid a_{ij} \mid $$

برای $ p=2 $ داریم:

$$||T||_{2} =sup\{ \frac{||T(x)||_{2}}{||x||_{2}} ,\ 0 \neq x\in\mathbb R^p \}$$
و $$sup\{ \frac{||T(x)||_{2}^{2} }{||x||_{2}^{2} } \}=sup\{ \frac{ x^{T} A^{T} Ax}{||x||_{2}^{2}}\} = \Lambda_{max} (A^{T} A) $$

لذا داریم: $$||T||_{2} = \sqrt{\Lambda_{max} (A^{T} A)} $$ که در آن $ \Lambda_{max} $ برابر ماکزیمم مقدار ویژه ی ماتریس است.