الحاقی یک عملگر خطی روی $C(X)$

Question

فرض کنید $X$ و $Y$ فشرده و $ \tau :Y \rightarrow X$ پیوسته باشد. $A:C(X) \rightarrow C(Y)$ با ضابطه $(Af)y=f( \tau (y))$ عملگری خطی و پیوسته است، در اینصورت نشان دهید که عملگر الحاقی $A^*:M(Y) \rightarrow M(X)$ به ازای هر زیر مجموعه بورل $ U$ از $X $ و هر $ \mu \in M(Y)$ به صورت زیر داده می‌شود: $$(A ^ * μ)(U)=μ(τ ^ {-1}(U))$$

Comments

فک کنم جهت نگاشت $\tau$ رو اشتبا نوشتید، از $Y$ به $X$ درسته

---

درسته من ویرایشش کردم.

Answer 1

کافیست حکم داده شده را برای مجموعه ی باز دلخواه $U$ از $X$ ثابت کنیم . می دانیم چون $X$ فشرده است بنابراین $C(X)$ تحت نرم یک یعنی $ \parallel ~~ \parallel_{1} $در $ L^{1} $چگال است. و چون $U$ باز در نتیجه اندازه پذیر است بنابراین $ \chi _{U} \in L^{1} $ و از این رو دنباله ای چون $ \big\{ f_{n} \big\} $ در$C(X)$ وجود دارد چنانکه $$ \int \chi _{U} d \mu = \lim_{n} \int \mid f_{n} \mid d \mu \tag{1} $$ حال چون $ A^{*} \mu \in M(X)$ و طبق تعریف برای عضو دلخواهی چون $f$ در $C(X)$ داریم $$ \int fd A^{*} \mu = < f , A^{*} \mu > = < Af , \mu > = \int Af d \mu \tag{2}$$ بنابراین از روابط (1) و(2) داریم $$ \begin{align} A^{*} \mu \big(U\big) &= \int_U d \big(A^{*} \mu \big) \\ & = \int \chi _{u} d \big( A^{*} \mu \big) \\ &= \lim_{n} \int \mid f_{n} \mid d \big( A^{*} \mu \big) \\ & = \lim_{n} \int A \big( \mid f_{n} \mid \big) d \mu \\ & = \lim_{n} \int \mid f_{n} \mid \circ \tau d \mu \\ & = \int \chi _{ U} \circ \tau d \mu\\ & = \int \chi _{ \tau ^{-1} U} d \mu \\ &= \mu \big( \tau ^{-1} U\big) \end{align} $$ و حکم تمام است.

Comments

ممنون بخاطر جواب.
در همین رابطه آیا می توان گفت چون هر مجموعه باز را می توان به صورت اجتماع نامتناهی از مجموعه های بسته تودرتو نوشت(فضاهای متریک پذیر) و با استفاده از لم اورسون دنباله ای  از توابع را همگرا به تابع خی همان مجموعه باز، یافت. و ادامه برهان فوق را پی گیری نمود؟