$\phi:X\to X$ عملگر خطی فشرده یک به یک باشد آنگاه برد $\phi$ بسته نیست.

Question

گیریم $X $ یک فضای باناخ نامتناهی- بعد و $ \phi: X \longrightarrow X $ یک عملگر خطی فشرده باشد. نشان دهید که اگر $ \phi $ یک به یک باشد، آنگاه برد (حوزه مقادیر) $ \phi $ نمیتواند بسته باشد.

Answer 1

در واقع اگر $ Im( \phi ) $ بسته باشد لذا فشرده است و$ \varphi : X \longrightarrow Im( \phi ) $ عملگری فشرده و دوسویی خواهد بود لذا گوی یکه $ B_{X} $ فشرده خواهد بود.(چون داریم $B_{X}= \varphi^{-1} \varphi B_{X} $ ) یعنی هر دنباله از اعضای آن، دارای یک زیر دنباله ی همگرا خواهد بود.

از آنجایی که $ X $ فضایی با بعد نامتناهی است لذا بنابر لم ریس($ Riesz's \ lemma$ ) دنباله ای از بردارهای یکه مانند $ \{x_{n} \} $ موجود است که هیچ زیر دنباله ای از آن همگرا نیست.ولی این با اینکه گوی یکه $ B_{X} $ فشرده است در تناقض است لذا فرض خلف باطل و حکم ثابت شد.