عملگر خطی نامحدود(بیکران ) که گراف آن بسته باشد.

Question

یک مثا ل از عملگر خطی نامحدود(بیکران ) $ T : X \rightarrow Y $ بزنید به طوری که $ G_{T} $بسته باشد ( نکته: در نظر بگیرید اپراتور(عملگر) دیفرانسیل $ C^{1} [0 ,1] $آیا این در تضاد با CGT است ؟

(قضیه CGT:)

فرض کنید $X $ و $Y $دو فضای باناخ باشند و $ T : X \rightarrow Y $ یک عملگر خطی باشددر اینصورت نمودار $T $ پیوسته است اگر و تنها اگر $ G_{T} \subseteq X \times Y $ بسته باشد.

( نمودار $T $ ، در $ X \times Y $ بسته است $ G_{T}= \big\{(x, T(x)) : x \in X \big\} $ بسته باشد. )

Comments

رجوع شود به صفحات 91و92 کتاب تابعی conway

---

با سلام دوستان در صفحات 91 و 92 که فرمودید کدام مسئله است ؟

---

@dr: وقتی میخواید به جایی ارجاع بدید فکرکنم بهتره به جای صفحه از بخش و فصل استفاده کنید. چون ممکنه در ویرایش های مختلف صفحه فرق کنه. پس بهتره حتی ویرایش کتاب هعم ذکر بشه. در صورت لزوم میتونید یک لینک به اون کتاب در سایت هایی مثل آمازون هم بدید. ممنون.

Answer 1

برای یک نمونه عملگر خطی بی‌کران می‌توانید عملگر خیلی سادهٔ ضرب‌در یک اسکالر را در نظر بگیرید. چون این عملگر پیوسته هم هست در نتیجه بنابر قضیه‌ای که اشاره کردید نمودار graph این عملگر نیز بسته می‌شود. اما برویم سراغ »نکته». احتمالا این قسمت را اشتباه ترجمه کردید یا که ابهام دارید.

مشکل عملگر دیفرانسیل (عملگر مشتق) چه می‌باشد؟ این عملگر٬ عملگر پیوسته‌ای نیست که در این قضیه مذکور صدق کند. برای مثال نقض از پیوسته بودن به فصل هفت، بخش اول کتاب اصول آنالیز ریاضی Principles of mathematical analysis رودین Walter Rudin (برخی این کتاب را با نام baby Rudin می‌شناسند) ویرایش سوم رجوع شود. دنبالهٔ $\lbrace \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} \rbrace_{n\in\mathbb{N}}$ به طور یکنواحت به تابع ثابت صفر میل می‌کند ولی حد دنبالهٔ مشتق‌های این تابع‌ها موجود نیست. پس عملگر مشتق پیوسته نیست. احیانا شاید فکر کردید چون «تابع مشتقپذیر پیوسته است» پس عملگر مشتق باید پیوسته هم باشد ولی این درست نیست، چون گزارهٔ «تابع مشتقپذیر پیوسته است» ربطی به پیوستگی یا ناپیوستگی عملگر مشتق ندارد. در نتیجه بسته نبودن نمودار graph -ِ عملگر مشتق تناقضی با قضیهٔ یادشده ندارد چون این عملگر همانطور که دیدیم اصلا پیوسته نیست.