چون $f $ کراندار است لذا عدد حقیقی $ M $ وجود دارد به طوریکه $f(x)\leq M $ . برای پیوستگی کافی است ثابت کنیم به ازای هر دنباله $ x_n\to x $ داریم : $f(x_n)\to f(x) $ .
دنباله ی $ (x_n, f(x_n)) $ در $\mathbb R^2 $در مجموعه ی $ (\{x_n\}\cup\{x\})\times [-M,M] $ قرار میگیرد. ولی از آنالیز ریاضی 1 دوره کارشناسی به یاد داریم که اگر $ x_n\to x $ آنگاه $ \{x_n\}\cup\{x\}$ فشرده است. و چون $[-M,M] $ هم فشرده است لذا $ (\{x_n\}\cup\{x\})\times [-M,M] $ نیز فشرده است. اما هر دنباله در یک مجموعه فشرده دارای زیر دنباله ی همگراست پس دنباله ی $ \{(x_n,f(x_n))\} $ در $ (\{x_n\}\cup\{x\})\times [-M,M] $دارای زیر دنباله ای همگرا مثل $ \{(x_{n_k},f(x_{n_k}))\} $ دارد. توجه داریم که چون $ \Gamma_f $بسته است نقطه همگرایی دنباله در آن می افتد یعنی نقطه همگرایی دنباله $(x_{n_k}, f(x_{n_k})) $ باید به صورت $ (x', f(x'))$ باشد . ولی چون $ x_n\to x $ پس هر زیردنباله آن هم به $x $همگراست یعنی $ x=x' $ و $f(x_{n_k})\to f(x) $ . بنابراین $f$ پیوسته است.
در واقع اگر زیر دنباله ی دیگری از $ \{(x_n,f(x_n))\} $ همگرا باشد مثلا $ \{(x_{n_t},f(x_{n_t}))\} $ و به $ ( x_{1} , f(x_{1}))$ همگرا باشد یعنی $\{(x_{n_t} \}$ به $ x_{1} $ همگراست اما از آنجایی که $ x_n\to x $ داریم که $ x_{1}=x$ یعنی هر زیر دنباله ی $ \{(x_n,f(x_n))\} $ به
$ ( x , f(x))$ همگراست لذا داریم : $f(x_n)\to f(x) $ .
